5.9.2. Помехоустойчивость систем передачи информации при оптимальной процедуре приема
Пусть по каналу связи передается сигнал
. Очевидно, прием
будет правильным, когда выходной сигнал
коррелятора
(рис. 5.14) окажется наибольшим. Поэтому вероятность
правильного приема сигнала
может быть найдена как
вероятность совместного выполнения системы неравенств
. При фиксированном значении
легко находится
условная вероятность выполнения этой системы неравенств:
,
|
|
где
–
условная плотность распределения
при фиксированном
.
Безусловная вероятность правильного приема сигналов в системе находится с помощью усреднения
по
и
:
.
|
(5.46)
|
В общем случае интегрирование (5.46) является сложной
математической задачей. Поэтому ограничимся рассмотрением частного случая
ортогональных сигналов, а также близких к ним симплексных сигналов, для которых
величины
и
независимы. В этом случае совместная
плотность распределения может быть записана в виде произведения:
.
|
|
Вследствие свойства эквидистантности
ортогональных кодов вероятности
равны
между собой, следовательно,
,
|
|
где
;
;
– сигнальная составляющая на
выходе
-го
коррелятора;
–
дисперсия шумовой составляющей на выходах
корреляторов.
Переходя к новым переменным
и
, преобразуем выражение
для вероятности ошибки к виду:
.
|
|
где
–
интеграл вероятности. Величина
(отношение сигнал/шум) может
быть найдена следующим образом. При действии
белого шума выходной сигнал коррелятора совпадает с выходным сигналом согласованного
фильтра. Следовательно, можно воспользоваться известной формулой для
отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра:
, где
– энергия сигнала. В теории связи обычно
вводится параметр
, характеризующий энергию
сигнала на один бит передаваемой
информации при числе информационных символов
. Окончательно
, где
– параметр, принятый в системах
связи.
Выражение для вероятности правильного приема сигнала
.
|
(5.47)
|
часто называется интегралом
В.А. Котельникова. Можно показать, что для симплексных сигналов справедливо следующее выражение:
.
|
(5.48)
|
где
– коэффициент
корреляции сигналов
и
.
Сравнение помехоустойчивости систем передачи информации, использующих разные коды, по величине
не всегда удобно, так как коды могут иметь
разное число
информационных
символов. С изменением
меняется как
, так и количество
передаваемой информации. Поэтому вероятность правильного приема
приводится к одному биту передаваемой информации, для чего вводят новую характеристику
, равную эквивалентной вероятности искажения
одного бита информации. Реальный канал связи заменяется эквивалентным
каналом без избыточности, но так, чтобы вероятности
были одинаковы в обоих каналах. В системе без
избыточности
поэтому
.
|
(5.49)
|
Для анализа помехоустойчивости при разных
значениях параметра
,
имеющего смысл приведенного отношения сигнал/шум, по формулам (5.47), (5.48)
можно вычислить вероятности
и
найти
с
помощью (5.49).
На рис. 5.16 сплошными кривыми представлены
результаты таких расчетов для случаев
(безызбыточное кодирование), а
также симплексных кодов (7,3), (15,4), (1023,10). Как следует из рисунка, с
ростом числа
информационных
разрядов вероятность
ошибки монотонно падает.
Представляет интерес предел
при
, что соответствует
переходу ко все более сложным кодам. Для его определения заметим, что функция
при
увеличении
приближается по форме к
единичному скачку в некоторой точке
, значение которой определяется из
уравнения
и равно
. При
формула (5.47) приводится к виду:
Итак, при возрастании числа
информационных
разрядов в коде величина
монотонно падает, если
. При достаточно
большом
система
приобретает пороговый эффект (рис. 5.16, кривая
); при
,
; при
,
.
В диапазоне
возможна передача сообщений со сколь
угодно малой вероятностью ошибки. Достигается это только ценою увеличения блока
кодируемых информационных символов и соответствующего возрастания времени
задержки при кодировании и декодировании, а также сложности оборудования на
обеих сторонах системы связи.