§ 16. Базисы в Rn
В пространстве
(действительном или
комплексном) введем
векторов:
(1)
называемых
ортами осей пространства
.
Осью
пространств
называется множество
точек вида
,
где
стоит
на
-м месте
и пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор
называется ортом оси
.
Если
есть произвольный
вектор (действительный в действительном
или комплексный в комплексном
), то его можно,
очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим
образом:
. (2)
Так как из
равенства
следует,
что
, то
система
линейно
независима.
Зададим
произвольную систему из
линейно независимых векторов
(3)
Как мы знаем
(см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель
. (4)
Если же
, то система (3)
линейно зависима.
Согласно теореме
1 § 14 любые
векторов
в пространстве
линейно
зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает
. Поэтому, если
произвольный вектор
и система векторов (3) линейно независима
, то система векторов
линейно зависима, т.
е. существуют числа
, одновременно не равные нулю, такие,
что
,
где
(иначе система (3) была
бы линейно зависимой). Отсюда
, (5)
где
. Выразим сумму (5) через орты
(см.(2)):
.
С другой
стороны, по (2)
.
В силу линейной
независимости системы
коэффициенты при одинаковых векторах
должны быть равны
. (6)
Таким образом,
если компоненты
вектора
по системе
известны,
то компоненты
этого
вектора по системе
находятся
из (6) и притом единственным образом, так как определитель системы (6) есть
.
Мы доказали,
что, какова бы ни была линейно независимая система векторов
, любой вектор
, можно разложить по
этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где
- некоторые числа,
определяемые из (6) и притом единственным образом.
В этом смысле
систему векторов
называют
базисом в
,
желая этим сказать, что любой вектор
можно представить в виде
линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы
доказали, что произвольная линейно независимая система из
векторов в
есть базис в
.
Линейно
независимая система из
векторов
,
где
, не есть базис в
. В самом деле, ранг
матрицы компонент этих векторов равен
. Будем считать, что первые
столбцов этой
матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к
ней внизу строку
,
где 1 стоит на
-м месте. Расширенная
матрица имеет ранг
,
и, следовательно, система векторов
линейно независима. Но тогда вектор
не может быть
линейной комбинацией из векторов системы
, и эта система не есть базис в
. Обозначим через
матрицу векторов
.
Переход от
базиса
к
базису
осуществляется
при помощи матрицы
:
, (7)
т. е. вектор
выражается через
векторы
с
помощью
-й строки
матрицы
. Обратный
переход от
к
происходит
при помощи обратной матрицы
(см. § 15, (9))
, (8)
элементы которой
вычисляются по формулам
, где
адъюнкт элемента
в определителе
(обратим внимание,
что элемент
принадлежащий
-й строке и
-му столбцу,
выражается через адъюнкт
элемента
, принадлежащего
-й строке и
-му столбцу). Отметин
еще, что
,
откуда
(9)
т.е. переход от
координат
к
происходит
при помощи матрицы (см. §3)
.
Из (9) видно,
что
выражается
через
с
помощью
-го
столбца матрицы
или
-й строки матрицы
, транспонированной к
.
Далее по формуле
(6)
видно, что
переход от
к
совершается
при помощи матрицы
транспонированной
к
, т. е.
, выражается через
с помощью
-й строки матрицы
или
-го столбца матрицы
.
Замечание. В §
15 было установлено, что произвольная квадратная матрица
(10)
Определяет
линейный оператор
,
задаваемый по формулам
. (11)
Но имеет место и
обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор
, он определяется некоторой
матрицей (10) так, что вектор
вычисляется по вектору
по формулам (11).
В самом деле,
пусть задан произвольный линейный оператор
. Обозначим образы
ортов
при
его помощи следующим образом:
.
Тогда в силу
линейности
любой
вектор
отображается при
помощи
в
вектор
, определяемый
равенствами
,
откуда следует,
что
-я
компонента
определяется
по формуле (11). Таким образом, оператор
порождает матрицу (10), у которой в
столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи
оператора
.
Пример 1. Найти
матрицу линейного оператора (преобразования)
, заключающегося в повороте векторов
плоскости
,
выходящих из начала, на угол
против часовой стрелки.
Возьмем за базис
векторы
,
. Тогда, очевидно,
что (рис. 34)
,
.
Рис.
34
Поэтому матрица
нашего оператора имеет вид
.