Эллипс
. (2)
При
эллипс (2)
обращается в окружность радиуса
с центром в начале координат, т. е.
геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии
.
Пусть
. Положим
. Отметим на оси
точки
,
, имеющие абсциссы
и
. Это фокусы эллипса.
Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до фокусов
,
есть
величина постоянная, равная
.
В самом деле
(рис. 37),
откуда
и
откуда
следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то
получим, что если точка
удовлетворяет уравнению (2), то сумма
ее расстояний до
и
равна
.
Если
в уравнении (2) заменить
на
, то оно не изменится – это показывает,
что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси
. Аналогично эллипс (2)
симметричен относительно оси
, потому что его уравнение не изменяется
при замене
на
. Но тогда
достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е.
для
. Часть
эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением
.
Из
этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки
и
. При этом его ордината
при непрерывном
возрастании
на
отрезке
непрерывно
убывает.
Эллипс
- ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса
с центром в начале координат
(для координат любой точки эллипса
имеет место неравенство
.
Из
рис.37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой
четверти это выпуклая вверх кривая. В любой ее точке можно провести
касательную. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены
методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного
определения высказанных выше понятий - непрерывность, выпуклость и т. д.
Рис. 37
Уравнение
эллипса можно записать еще в параметрической форме
(3)
В
самом деле
т.
e. точка
, определяемая равенствами (3) при любом
принадлежит
эллипсу (2). Если
непрерывно
пробегает полуинтервал
, то точка
описывает полный эллипс. При дальнейшем
возрастании
движение
периодически повторяется.
Выясним смысл
параметра
и
попутно укажем способ построения эллипса (рис. 38). Проведем две
концентрических окружности радиусов
и
с центром в точке
.
Рис.38
Затем
проведем радиус-вектор под углом
к оси
и обозначим его точки пересечения с
окружностями радиуса
и
соответственно
и
. Из точки
проведем прямую, параллельную
оси
, а из
точки
-
прямую, параллельную оси
. Точка пересечения этих прямых
принадлежит эллипсу.
В самом деле, пусть
- абсцисса точки
, а
- ордината этой точки. Тогда
(см. рис. 38)
т.е.
точка
действительно
находится на эллипсе (3) и параметр
есть угол между осью
и лучом
. Отметим, что
не является
полярным углом
,
который образует радиус-вектор
с осью
(
). Например, если
,
,
, то
; если
, то
; если
,то
.