Тождество Вальд
Подставим в (26) значение
. Так как второе слагаемое в правой части в этом случае будет равно нулю, получим
Выражение (30) называется тождеством Вальда [33] и широко используется в последовательном анализе. Кроме этого, оно позволяет в самом общем случае получить статистические характеристики случайных блужданий при наличии поглощающих экранов.
При выводе (30) предполагалось, что в результате подстановки
значение
остается конечным. Докажем этот факт, так как в противном случае такую подстановку делать нельзя. Предварительно остановимся на некоторых свойствах производящей функции
, определяемой соотношением (18), и получим одно полезное неравенство.
Из свойств преобразования Лапласа следует, что среднее значение случайных величин
равно
Поэтому, если мы построим график функции
в зависимости от
, то тангенс угла наклона кривой при
будет равен
. Кроме этого, кривая
будет выпуклой вниз, так как вторая производная
положительна для любых действительных значений
и
при
. Поэтому график
для разных значений
имеет вид, показанный на рис. 9.1. Отсюда следует, что
имеет минимум в единственной точке
имеет тот же знак, что и среднее значение
случайных величин
при
. При этом выполняется соотношение
Очевидно, что для уравнения
значение
всегда является одним из корней. Если
, то второй действительный корень этого уравнения
также имеет знак, совпадающий со знаком
. При
оба корня совпадают и равны нулю.
На основании свойств производящей функции для плотности вероятности
неограниченных случайных блужданий в момент времени
можно написать
Рис. 9.1. Производящая функция моментов общей модели случайных блужданий.
Тогда, для любого
имеем
Для любых
левая часть последнего неравенства не зависит от
. Учитывая, что при
, можно написать
Аналогично, для
получим
Покажем теперь, что функция
имеет конечное значение при
. Действительно, для любого
из (25) следует неравенство
С учетом оценки (33) отсюда имеем
Ряд в правой части последнего неравенства сходится при
Аналогично можно показать, что для любых
функция
остается конечной при выполнении условия (35). Так как в точке
, функция
имеет единственный минимум, то равенство (30) справедливо для любых значений
, для которых
. Отметим, что для задач с одним поглощающим экраном аналогичные соотношения могут быть получены предельным переходом при
или
.
Обозначим через
и
вероятности поглощения соответственно на верхнем и нижнем экранах. Тождество Вальда (30) может быть использовано для нахождения приближенных значений этих вероятностей. Действительно, так как события
и
с взаимно исключают друг друга, (30) можно записать в виде
где
и
означают операцию условного математического ожидания, например,
В том случае, когда
, второй действительный корень уравнения (32)
и из (36) следует
Если пренебречь явлениями вне границ экранов, то приближенно можно положить
Из (38) и (39) имеем
Используя тот факт, что вероятность поглощения на каком-либо экране за бесконечно большое время равна единице, т. е.
, получим приближенные выражения для вероятностей поглощения на каждом из экранов в отдельности
При
и, следовательно,
из (40) путем предельного перехода при
имеем
Напомним, что всюду предполагалось (см. (20) и далее), что
. Из (41) следует, что приближенные значения вероятностей поглощения не зависят от конкретного вида плотности вероятности распределения одного скачка.
Используя ту же методику, можно получить приближенное выражение для производящей функции числа шагов до поглощения
.
Из свойств функции
следует, что уравнение
имеет два действительных корня, обеспечивающих выполнение неравенства
. Обозначим значения этих корней через
и
для них выполняются равенства
. Полагая в (26)
и
, вместо (30) получим два уравнения
С учетом приближенных соотношений (39) из (42) следует
Определив из (43) значения
и воспользовавшись соотношением
для производящей функции числа шагов до поглощения получим приближенное равенство
Так как левая часть равенства (30) зависит от
, а справа стоит постоянная величина, то функцию, стоящую под знаком математического ожидания, можно разложить в ряд по степеням
и приравнять нулю математические ожидания коэффициентов при соответствующих степенях
. Эта операция эквивалентна дифференцированию по
под знаком математического ожидания с последующей подстановкой
.
Воспользуемся известным разложением характеристической функции [30]
где
— кумулянты
.
Подставляя (45) в (30), имеем
Приравнивая нулю математические ожидания коэффициентов разложения экспоненты при степенях
и
, получаем
Стедовательно, имеют место равенства
Для среднего числа шагов до поглощения из (46) и (47) получим соотношения
(9.47)
Так как
, то из (40) получим приближеннее выражение для среднего числа шагов до поглощения
Формула (49) находит широкое применение в теории последовательного анализа.
Пример 4. Случайные блуждания по нормальному закону. Рассмотрим одномерные блуждания, когда случайные приращения координаты распределены по нормальному закону со средним значением
и дисперсией
, т. е.
В этом случае, как нетрудно убедиться,
и для вероятности поглощения
и
из (40) следуют приближенные соотношения
Для среднего числа шагов до поглощения на основании (49) получим
При
значения
и
определяются формулами (41) и (49).