30. Пуассоновские процессы

Характеристики простого пуассоновского процесса

Рассмотрим более подробно, чем в § 29, простейший или, иначе, пуассоновский процесс точечных событий на оси времени (рис. 29.1, а) и некоторые его обобщения.

Целочисленный пуассоновский точечный процесс определяется тремя свойствами [126].

1. Он ординарен, т. е. вероятность наступления более одного события на любом малом интервале времени имеет более высокий порядок малости, чем . Поэтому для него выполняются соотношения

где — некоторая положительная величина, имеющая размерность, обратную времени. Физический смысл ее выяснится позже. Следствием этих двух соотношений является равенство

2. Процесс стационарен, т. е. его статистические характеристики не изменяются при сдвиге всех точек вдоль оси времени на произвольную, но одну и ту же величину .

3. Он имеет независимые приращения (значения) на неперекрывающихся интервалах времени (отсутствие последействия).

Отметим, что согласно определению (29.2) для целочисленного процесса принимается

В предыдущем параграфе указывалось, что полное статистическое описание целочисленного процесса , удовлетворяющего трем перечисленным свойствам, достигается заданием вероятностей наличия точек в интервале длительностью . Введем для этой вероятности другое обозначение

и получим для нее аналитическое выражение.

Пусть есть случайное число точек (событий) в полуинтервале . Тогда на основании теорем сложения и умножения вероятностей для можем написать

Соотношение (6) справедливо для любого точечного процесса. Третье специальное свойство пуассоновского процесса (независимость приращений) позволяет в выражении (6) заменить условные вероятности на безусловные:

Полагая в выражении (6) интервал достаточно малым и пользуясь свойствами рассматриваемого процесса (1) — (3), можем написать

Переходя здесь к пределу при , для вероятностей получим дифференциальное уравнение

В уравнении, соответствующем нужно полагать . Дифференциальные уравнения (8) должны решаться при физически очевидных начальных условиях

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами (8) можно получить несколькими методами. Можно, например, находить решения последовательно, начав с , а затем для и т. д. Так, полагая , получим

(30.10)

Подставив этот результат в уравнение (8) при , получим

(30.11)

Проделав последующие вычисления, придем к окончательной формуле, получившей название закона Пуассона,

(30.12)

Из формулы (101 следует, что вероятность отсутствия точки на малом интервале времени (удовлетворяющем условию ) приближенно равна

что согласуется со свойством закона Пуассона (3). Аналогично, из (11) получаем

Этот результат совпадает с (1). Кроме этого, отсюда следует, что

(30.13)

Закон Пуассона можно получить более коротким путем при помощи производящей функции вероятностей (см. Приложение II)

Умножим обе части уравнения (8) на и затем просуммируем их по от 0 до . Тогда с учетом тождества , получим

или

(30.15)

При любом фиксированном это есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Начальное условие для него следует из (9) и (14):

(30.16)

Решение уравнения (15) имеет вид

Из начального условия (16) находим произвольную «постоянную» . Следовательно,

(30.17)

Раскладывая второй сомножитель в правой части в степенной ряд, имеем

(30.18)

Приравняв почленно правые части выражений (14) и (18), придем к закону Пуассона (12).

Рис. 30.1. Закон Пуассона.

Ради краткости последующих математических записей обозначим

и запишем закон Пуассона в следующем виде

(30.20)

Графики закона Пуассона для нескольких значений безразмерного параметра приведены на рис. 30.1. Если , то имеет наибольшее значение при . При , но не равном целому числу, имеет наибольшее значение при если же есть целое число, то наибольшее значение будет при . Известно, что при закон Пуассона стремится к нормальной плотности вероятности.

Нетрудно проверить, что для закона Пуассона справедливы следующие функциональные соотношения:

Начальные моменты закона Пуассона

(30.22)

равны

(30.23)

Другие моменты более высокого порядка можно вычислить, пользуясь одной из двух рекуррентных формул

Центральные моменты

равны

Высшие центральные моменты закона Пуассона могут быть подсчитаны по рекуррентной формуле

(30.26)

Все кумулянты (семиинварианты) закона Пуассона равны . Много других конкретных сведений о законе Пуассона содержится в [131].

Из (23) и (25) следует, что для рассматриваемого закона Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны друг другу

(30.27)

Оказывается [131], что среди всех экспоненциальных плотностей вероятностей вида только для закона Пуассона (для которого ) имеет место равенство (27). Поскольку математическое ожидание определяет среднее число точек, выпавших в полуинтервале , то параметр

(30.28)

можно трактовать как среднее число точек, приходящихся на единичный интервал времени. Поэтому v часто называют интенсивностью процесса.

Изучим теперь статистические характеристики временных интервалов между различными точками. Сначала найдем функцию распределения времени появления точки

(30.29)

Рассмотрим типовую реализацию рассматриваемого целочисленного процесса , изображенную на рис. 30.2. Из рассмотрения рисунка можно прийти к заключению, что существует однозначное соответствие между значениями целочисленного процесса и моментами появления точек. В частности, события и являются статистически эквивалентными (имеют равные вероятности), так как одно из них осуществляется тогда и только тогда, когда происходит другое.

Поэтому можем написать

Если ввести функцию распределения закона Пуассона

то предыдущее равенство примет вид

Рис. 30.2. Типовая реализация целочисленного процесса .

Рис. 30.3. Примеры распределения Эрланга .

Наоборот,

(30.33)

Отметим, что формулы (32) и (33) справедливы для любого целочисленного процесса , если принято . Применительно к закону Пуассона формула (32) дает

(30.34)

Отсюда, беря производную по времени , получаем плотность вероятности времени появления точки:

Таким образом, плотность вероятности времени появления точки определяется формулой

Эта плотность вероятности известна как гамма-распределение (с параметрами и ) и как закон . Вид плотностей вероятностей для малых значений к показан на рис. 30.3. Воспользовавшись формулой (35), нетрудно найти среднее значение и дисперсию времени появления -го события:

(30.36)

Покажем, что последовательность временных интервалов между соседними точками пуассоновского процесса есть независимые и одинаково распределенные случайные величины с экспоненциальной плотностью вероятности

(30.37)

Обозначим интервалы между точками (рис. 30.2) через

(30.38)

Согласно третьему определяющему свойству пуассоновского процесса (независимость значений на неперекрывающихся интервалах появление событий после любого момента времени ) не зависит от того, сколько и как появлялись события до и при . Поэтому последовательность случайных величин независимой.

Для произвольного события и статистически эквиваленты, так как осуществление одного из них достоверно влечет осуществление другого. Поэтому

На основании этого равенства находим функцию распределения интервалов

Следовательно, плотность вероятности временных интервалов между соседними точками является экспоненциальной

(30.40)

Среднее значение и дисперсия интервалов между точками равны

Из сравнения выражений (36) и (41) следует, что

Такой результат является закономерным, так как , где — независимые и одинаково распределенные случайные величины.

Докажем теперь обратное утверждение. Пусть имеется последовательность независимых случайных величин , имеющих одну и ту же экспоненциальную плотность вероятности

(30.42)

Организуем случайный точечный процесс следующим образом (рис. 30.4). Стартуя от произвольной начальной точки , расставим точки в моменты времени

Можно утверждать, что полученные точки распределены по закону Пуассона с параметром .

Чтобы доказать наше утверждение, необходимо показать, что вероятность иметь точек в полуинтервале дается законом Пуассона (12).

Предварительно приведем несложные математические сведения [132]. Используя известный интеграл

(30.43)

убеждаемся, что плотности вероятности (42) соответствует характеристическая функция

Дифференцируя раз обе части равенства (43) по , получим, что характеристической функции

(30.45)

соответствует плотность вероятности

(30.46)

Все рассматриваемые случайпые величины независимы и имеют одинаковую плотность вероятности (42). Поэтому характеристическая функция их суммы равна произведению характеристических функций (45) и соответственно плотность вероятности случайной величины дается выражением (46).

Учтем, что случайные величины и также независимы, так как не зависит от . На этом основании совместная плотность вероятности и дается произведением их плотностей вероятностей

Рис. 30.4. Формирование точечного процесса из случайных величин .

Рис. 30.5. Прямое и обратное времена возвращения.

Чтобы в полуинтервале было ровно точек, должны совместно выполняться два неравенства

Поэтому искомая вероятность должна определяться следующими

условиями:

Таким образом, утверждение доказано.

При помощи аналогичных рассуждений можно показать, что количество точек в неперекрывающихся интервалах независимо.

Следовательно, два термина: 1) точечный процесс является пуассоновским и 2) интервалы между соседними точками процесса — независимые случайные величины с одинаковой экспоненциальной плотностью вероятности (40) по существу являются эквивалентными.

Интересно заметить, что если конструировать случайные точки как указано выше, используя независимые случайные величины с одной и той же общей плотностью вероятности , и сделать дополнительное предположение, что расстояние от произвольной взятой точки до следующей точки есть случайная величина, не зависящая от того, что происходит вне интервала , то отсюда следует, что плотность вероятности должна даваться формулой (42).

Это объясняется тем, что указанное выше дополнительное предположение требует выполнения равенства

Оказывается [132], единственной функцией, удовлетворяющей этому равенству, является экспоненциальная функция вида (42).

Для полного статистического описания пуассоновского точечного процесса вычислим плотности вероятностей прямого и обратного времен возвращения (рис. 30.5).

Возьмем произвольный момент времени . Пусть есть случайная координата первой точки рассматриваемого потока справа от и — координата последней точки слева от . Тогда

(30.47)

Покажем, что плотности вероятностей этих случайных величин определяются соответственно формулами

Действительно, . Два события и статистически идентичны, вероятности их равны

(30.49)

Продифференцировав это выражение по , придем к первой формуле (48). Аналогично доказывается вторая формула (48).

Плотности вероятностей (48) совпадают с (40), т. е. статистические характеристики прямого и обратного времен возвращения такие же, как и для интервалов между соседними точками пуассоновского процесса. Иначе говоря, ничего не изменится, если на рис. 30.5 считать, что в находится точка пуассоновского процесса. При этом плотность вероятности будет равна условной плотности вероятности случайной в предположении, что имеется точка процесса. Именно этот факт разьясняет приводимый ниже результат (50).

Рассмотрим случайную величину . Поскольку случайные величины и независимы и одинаково экспоненциально распределены, то плотность вероятности их суммы будет определяться выражением вида (46) при :

(30.50)

Эта плотность вероятности отличается от (40) и, как нетрудно проверить, совпадает с плотностью вероятности случайной величины .

Различие между формулами (50) и (40) объясняется тем, что первая из них допускает возможность наличия точки процесса в .

Приведем еще одно свойство точечного процесса Пуассона, характеризующего его как чисто случайный процесс.

Пусть есть пуассоновский точечный процесс с интенсивностью . Предположим, что во временном полуинтервале имеется точек, т. е. . Тогда случайных моментов времени , при которых осуществляются события, имеют такую же совместную плотность вероятности, как и порядковая статистика независимых случайных величин , распределенных равномерно в полуинтервале .

Рис. 30.6. Разбиение полуинтервала на подынтегралы.

Говорят, что последовательность есть порядковая статистика, соответствующая случайным величинам , если есть наименьшее значение среди есть второе наименьшее значение среди и т. д., так что есть наибольшее значение среди .

Для доказательства [33] разобьем полуинтервал на примыкающих подынтервалов точками (рис. 30.6), не связанными с временами событий . Пусть . Очевидно, что

(30.51)

Обсзначим число событий, оказавшихся в полыинтервале , через . Ясно, что при принятом предположении

(30.52)

Запишем выражение для условной совместной вероятности наличия событий в подынтервале длительностью , при условии, что во всем полуинтервале имеется событий

(30.53)

Здесь последнее равенство написано на том основании, что последовательность событий вследствие равенств (51) и (52) включает в себя событие .

Поскольку рассматриваемый процесс имеет стационарные и независимые приращения, то

В каждом из подынтервалов число событий распределено по закону Пуассона, т. е.

Поэтому

Допустим далее, что подынтервалы взяты настолько малыми, что каждый из них практически может содержать лишь одну точку будет подынтервалов, имеющих одну точку процесса, и подынтервалов, не содержащих точек. Для первых подынтервалов и , а для остальных подынтервалов и . Следовательно, фигурирующее в (54) произведение будет содержать только сомножителей, соответствующих тем подынтервалам, которые имеют по одной точке процесса. Перенумеруем заново эти подынтервалы так, чтобы подынтервал содержал порядковую точку процесса При этом условная совместная вероятность (54) становится условной совместной вероятностью событий . Таким образом,

где предполагается .

Покажем теперь, что формулой (55) описывается и последовательность случайных величин . По условию каждая из случайных величин распределена равномерно в полуинтервале . Поэтому условная плотность вероятности имеет вид

Рис. 30.7. Случайное расположение точек в полуинтервале .

Так как по предположению все случайные величины , независимы, то их условная совместная плотность вероятности равна произведению отдельных плотностей вероятностей:

При организации порядковой статистики для случайных величин учтем, что имеется возможностей выбора величины среди их, возможностей выбора из оставшихся величин и т. д. Следовательно, существует равновероятных и несовместных способов образования величин из . Поэтому условная совместная плотность вероятности для случайных величин дается выражением

(30.57)

Теперь случайные величины можно рассматривать как времена появления точечных событий, и, повторив предыдущие рассуждения, придем к следующему выражению для условной совместной вероятности

Из совпадения формул (55) и (58) следует идентичность статистических характеристик пуассоновского точечного процесса и порядковой статистики независимых случайных величин, равномерно распределенных в полуинтервале .

К полученному результату можно прийти другим, более простым и коротким, но менее строгим путем, базирующимся на том, что при определенных условиях биномиальное распределение переходит в пуассоновское [132].

Допустим, что случайным и независимым образом во временном полуинтервале размещено точек, причем вероятность какой-либо точке оказаться на отрезке (рис. 30.7) равна

Нас интересует вероятность того, что на отрезке окажется ровно точек.

Выражение для можно получить, применяя рассуждения, используемые в классической задаче о повторении испытаний. Пусть С, есть эксперимент размещения одной единственной точки в полуинтервале и — событие, что точка попадет в интервал ; вероятность такого события равна . Считается, что эксперименте повторяется раз. Известно [30], что при оговоренных условиях вероятность того, что на отрезке будет находиться точек, определяется биномиальным законом

Предположим, и . При этих условиях для значений порядка биномиальный закон хорошо аппроксимируется законом Пуассона

Если , то формула (60) становится не приближенной, а точной. Этим завершается доказательство.

В общем случае случайные события во времени не являются простым пуассоновским точечным процессом. В качестве итога перечислим физические условия, при которых точечный процесс будет пуассоновским.

1. Точечный процесс будет пуассоновским при выполнении условий 1, 2 и 3, сформулированных в начале параграфа.

2. Если есть расстояние между и точками процесса, то случайные величины должны быть независимы с общей плотностью вероятности (40).

3. Расстояние от произвольно взятого момента времени до следующей случайной точки является случайной величиной, не зависящей от того, что происходит вне интервала и имеющей экспоненциальную плотность вероятности вида (42).

4. Полное число событий в полуинтервале равно , каждое из них равномерно распределено в этом интервале. Тогда число точек в интервале имеет пуассоновское распределение с параметром . Сказанное является точным при и .