16. Процессы с распределениями Пирсона

Известно [48], что большой класс непрерывных плотностей вероятностей , называемый системой распределения Пирсона, удовлетворяет дифференциальному уравнению

Рассмотрим одномерный марковский процесс на интервале считая, что в точках и расположены отражающие экраны, т. е. выполняются граничные условия (11.27):

При таких граничных условиях стационарная плотность вероятности определяется дифференциальным уравнением (12.3)

или

Из сравнения (1) с (3) следует, что марковский процесс с коэффициентами

где — несущественный постоянный коэффициент, в стационарном состоянии дает систему плотностей вероятностей Пирсона.

Приведем для нескольких частных случаев выражения одномерных плотностей вероятностей Пирсона и соответствующих им плотностей вероятностей перехода [49], являющихся решением Фоккера-Планка—Колмогорова

при дельтообразном начальном условии и отражающих граничных условиях. Приведенные ниже выражения для плотностей вероятностей перехода получены методом разделения переменных. (Ради простоты математических записей в дальнейшем будем полагать .)

1. Пусть

что соответствует уравнению Пирсона

В данном случае уравнение (5) принимает вид

причем наличие отражающего экрана предполагает, что выполняется граничное условие

Решение уравнения (7) дается выражением

где

Это решение можно также представить в другом виде

2. Одномерная плотность вероятности

удовлетворяет уравнению

Уравнение для плотности вероятности перехода (5) принимает

Решениями этого уравнения являются выражения

где — полиномы Лагерра,

где — функция Бесселя от мнимого аргумента.

3. Для случая, когда уравнение имеет два различных действительных корня, одномерная плотность вероятности определяется формулой

(16.14)

соответствующей уравнению Пирсона

Уравнение (5) теперь имеет вид

(16.15)

Приведем решение этого уравнения

(16.16)

где — полиномы типа Якоби,

4. В случае, когда уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней, можно взять плотность вероятности

являющуюся решением дифференциального уравнения

Уравнение (5) имеет вид

Его решение дается выражением

где — полином степени ,

— гипергеометрическая функция Гаусса.

Более компактное решение в частном случае , где — целое положительное число, а также решение, когда уравнение имеет два нулевых корня, приведены в [49].

Для рассматриваемого класса марковских процессов можно доказать следующие два утверждения [49, 50].

Пусть плотность вероятности перехода марковского процесса удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова (5) и

Тогда плотность вероятности перехода можно представить в виде бесконечного ряда по ортогональным нормализованным полиномам

а корреляционная функция процесса имеет вид

(16.21)

если и только если выполняются следующие три условия: