Функция восстановления

Получим теперь выражение для функции , которую часто называют функцией восстановления. Из формулы (9) имеем

В дальнейшем будет широко использоваться преобразование Лапласа. Приведем необходимые справочные сведения. Преобразование Лапласа от произвольной функции , определенной на интервале , при условии, что интеграл существует, дается выражением

(31.20)

Если есть плотность вероятности неотрицательной случайной величины , а — функция распределения, то

Пусть — неотрицательные независимые случайные величины с плотностями вероятностей . Преобразованием Лапласа суммы является по определению

(31.22)

Если , то плотность вероятности суммы имеет преобразование Лапласа

(31.23)

Беря преобразование Лапласа от равенства (19) и учитывая (21), имеем

(31.24)

Здесь — плотность вероятности появления точки (восстановления), введенная после формулы (30.34):

Далее необходимо рассматривать раздельно простой, общий и стационарный процессы восстановления, поскольку влияет на по-разному.

Для простого процесса восстановления все случайные величины распределены одинаково и поэтому . Подставив это выражение в (24) и выполнив суммирование, получим функцию восстановления для простого процесса восстановления

(31.26)

В общем процессе восстановления случайная величина имеет плотность вероятности и поэтому , а функция восстановления будет определяться выражением

(31.27)

Для стационарного процесса восстановления дается формулой (2), соответствующее ей преобразование Лапласа имеет вид . Поэтому функция восстановления определяется формулой

(31.28)

(31.29)

Таким образом, для стационарного процесса восстановления математическое ожидание числа событий в полуинтервале времени определяется простой формулой

(31.30)

Анализ выражения (27) зависит от вида конкретных плотностей вероятностей и . Рассмотрим более подробно выражение (26) для простого процесса восстановления, обратив особое внимание на предельный случай при .

Если есть рациональная функция , то будет тоже рациональной функцией и ее обратное преобразование Лапласа получается в виде комбинации экспоненциальных функций. Например, пусть . Тогда и

Отсюда получаем

(31.31)

Исследование общей предельной формы функции восстановления при требует анализа функции при . Разлагая экспоненту в степенной ряд, формально можем написать

Подстановка этого выражения в (26) дает

Полагая , из формального обращения этого результата получаем

(31.32)

Хотя строгое доказательство этой формулы возможно при весьма слабых ограничениях на вид плотности вероятности , однако оно требует специальных и сложных математических аргументов и .

Приведем без доказательства асимптотические формулы для дисперсии случайной величины . Для простого процесса восстановления

(31.33)

а для стационарного процесса восстановления

где — третий центральный момент случайной величины .