17. Процессы с кусочно-линейными коэффициентами сноса

Рассмотрим процессы, которые описываются нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями вида

где — кусочно-линейная функция (рис. 17.1), —нормальный белый шум.

Рис.17.1 Кусочно-линейные преобразования.

Процесс является марковским (см. § 19), причем коэффициенты сноса и диффузии для такого процесса равны

Поэтому уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (11.12) для плотности вероятности перехода принимает вид

с начальным условием

Обозначим точки излома кривой через (рис. 17.1). Тогда в дополнение к обычному условию нормировки плотность вероятности перехода и поток вероятности

должны быть непрерывны на всем интервале , в том числе и в точках .

Поясним подробнее эти условия на частных примерах. Рассмотрим сначала стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка

с дельтообразным начальным условием вида (4).

Рис.17.2. Кусочно-линейная функция (а) и траектории марковского процесса с кусочно-линейным коэффициентом сноса (б).

Рассматриваемая кусочно-линейная функция изображена на рис. 17.2, а. Заметим, что траектория процесса непрерывна и не делает скачков на границе , хотя характер ее несколько различен: выше и ниже границы (рис. 17.2, б). Вид траектории также зависит от начального значения . Это особенно наглядно видно в отсутствие шума . Тогда

Соответствующие траектории изображены на рис. 17.2, б пунктиром.

При наличии случайного воздействия траектории процесса будут случайными функциями времени. Для нас важно то, что эти траектории не возникают и не исчезают на границе . Поэтому плотность вероятности перехода и поток вероятности должны быть непрерывными на границе [51, 52]:

Аналогично обстоит дело и в многомерном случае при выполнении условия диффузионной изотропности (13.4). Пусть, например, задано уравнение Фоккера—Планка— Колмогорова (13.2) для двумерного диффузионно-изотропного процесса :

с начальным условием

В данном случае выражение (13.6) для составляющей потока вдоль оси принимает вид

Рис. 17.3. Характер траектории марковского процесса с разрывным коэффициентом сноса.

Чтобы получить граничное условие при , будем интерпретировать как относительную долю большого числа частиц (первоначально сконцентрированных в точке ), оказавшихся в момент времени t в элементарной площадке расположенной около точки . Траектория частиц показана на рис. 17.3.

Так как частицы вследствие диффузионного характера движения нигде не концентрируются, а также нигде не возникают и не исчезают, то на границе должны выполняться два условия:

1) условие непрерывности плотности вероятности

2) условие неразрывности потока

Здесь — площадка, ограниченная контуром , — элемент контура с нормалью , направленной вовне , — плотность потока в направлении v. Если взять площадку очень узкой вдоль оси как это показано на рис. 17.3, то на границе поток должен быть непрерывным:

Перейдем теперь к фактическому решению простейших уравнений. Укажем, что одномерную стационарную плотность вероятности можно найти сравнительно просто по формуле (12.2) или (12.4). Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для согласно (3) имеет вид

Интегрируя это уравнение один раз по в бесконечных пределах и принимая во внимание условие отсутствия потока вероятности (11.26), получим

Общее решение этого уравнения дается формулой (12.4), т. е.

(17.10)

Однако получить выражение для плотности вероятности перехода в большинстве практически интересных случаев затруднительно. В работе [53] показано, что преобразование Лапласа от плотности вероятности перехода может быть найдено для широкого класса кусочно-линейных коэффициентов сноса. Но обратное преобразование Лапласа удается получить только для некоторых простейших случаев.

Пример 1. Рассмотрим простой пример [54], когда

Воспользовавшись формулой (10), записываем одномерную стационарную плотность вероятности

(17.12)

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для плотности вероятности перехода получаем в результате подстановки выражения (11) в (3):

(17.13)

Если перейти к новым переменным и в соответствии с равенствами

и обозначить плотность вероятности перехода в новых переменных через , то из (13) получим

(17-14)

Решая это уравнение методом разделения переменных, нетрудно убедиться, что в данном случае уравнение (12.11) для собственных функций будет иметь вид

Предполагается, что собственные функции можно дважды дифференцировать, причем и непрерывны в точке . Решением уравнений (15), удовлетворяющим условию непрерывности, являются собственные функции

соответствующие собственным значениям . Поэтому

Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем окончательное выражение плотности вероятности перехода, являющейся решением уравнения (13):

На основании формулы (10.15) находим корреляционную функцию

и энергетический спектр

(17.19)