§ 2. Энергия электростатического поля проводников

Вычислим полную энергию электростатического поля заряженных проводников:

где интеграл берется по всему объему пространства вне проводников. Преобразуем этот интеграл следующим образом:

Второй интеграл обращается в нуль в силу (1,4), а первый преобразуется в интеграл по ограничивающим поле поверхностям проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Но последний интеграл обращается в нуль в силу достаточно быстрого убывания поля на бесконечности (предполагается, что произвольная постоянная в выбрана таким образом, что на бесконечности).

Нумеруя проводники индексом а и обозначая постоянные значения потенциала вдоль каждого из них посредством , получим

Наконец, вводя полные заряды проводников согласно (1,10), получим окончательно выражение

аналогичное выражению для энергии системы точечных зарядов.

Заряды и потенциалы проводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом; между ними существует определенная связь. В силу линейности и однородности уравнений поля в пустоте эта связь тоже должна быть линейной, т. е. выражаться соотношениями вида

где величины имеют размерность длины и зависят от формы и взаимного расположения проводников. Величины называют коэффициентами емкости, а величины — коэффициентами электростатической индукции. В частности, если имеется всего один проводник, то , где С — емкость; порядок величины емкости совпадает с линейными размерами тела. Обратные выражения для потенциалов через заряды:

где коэффициенты составляют матрицу, обратную матрице коэффициентов .

Вычислим изменение энергии системы проводников при бесконечно малом изменении их зарядов или потенциалов. Варьируя исходное выражение (2,1), имеем

Это выражение можно преобразовать далее двумя эквивалентными способами.

Подставив и имея в виду, что варьированное поле, как и исходное, удовлетворяет уравнениям (1,4) (так что ), пишем

или окончательно

т. е. получаем изменение энергии, выраженное через изменения зарядов. Этот результат, впрочем, заранее очевиден как работа, которую необходимо произвести над бесконечно малыми зарядами чтобы перенести их к заданным проводникам из бесконечности, где потенциал поля равен нулю.

С другой стороны, можно написать

или

т. е. изменение энергии выражено через изменения потенциалов проводников.

Формулы (2,5), (2,6) показывают, что, дифференцируя энергию 41 по величинам зарядов, мы получаем потенциалы проводников, а производные от по потенциалам дают значения зарядов:

С другой стороны, потенциалы и заряды являются линейными функциями друг друга. С помощью (2,3) имеем

а изменив порядок дифференцирования, мы получили бы . Отсюда видно, что

(и, аналогично, ). Энергия может быть представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов:

Эта квадратичная форма, как и исходное выражение (2,1), должна быть существенно положительной.

Из этого условия возникают определенные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты . В частности, все коэффициенты емкости положительны:

(а также и ).

Напротив, все коэффициенты электростатической индукции отрицательны:

Это обстоятельство очевидно уже из следующих простых соображений. Представим себе, что все проводники, за исключением лишь одного (а-го), заземлены, т. е. их потенциалы равны нулю. Тогда заряд, индуцированный заряженным (а-м) проводником на каком-либо проводнике b, равен Знак индуцированного заряда противоположен знаку индуцирующего потенциала, а потому . В этом можно убедиться, исходя из того, что потенциал электростатического поля не может достигать максимального и минимального значений вне проводников. Пусть, например, потенциал единственного незаземленного проводника Тогда потенциал будет положителен и во всем пространстве, так чтобы его наименьшее значение (нуль) достигалось только на заземленных проводниках. Отсюда следует, что на поверхности последних нормальная производная потенциала будет положительной, а их заряд согласно (1,10) отрицательным.

С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться в том, что .

Энергия электростатического поля проводников обладает свойством экстремальности, имеющим, правда, не столько физический, сколько формальный характер. Для вывода этого свойства представим себе, что распределение зарядов в проводниках подвергается бесконечно малому изменению (при неизменном полном заряде каждого проводника), в результате которого заряды могут попасть и внутрь проводников; при этом мы отвлекаемся от того, что в действительности такое распределение зарядов не может быть стационарным. Рассмотрим соответствующее изменение интеграла

который надо представлять себе теперь распространенным по всему пространству, включая объем самих проводников (так как после смещения зарядов поле Е будет, вообще говоря, отличным от нуля и внутри проводников).

Пишем

Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, исчезает. Во втором в силу уравнения (1,8) имеем так что

Но этот интеграл обращается в нуль, если соответствует истинному электростатическому полю: в этом случае внутри каждого проводника , а интегралы по их объемам равны нулю, поскольку полные заряды проводников остаются неизменными.

Таким образом, энергия истинного электростатического поля минимальна по сравнению с энергией полей, которые были бы созданы всяким другим распределением зарядов по объему проводников (теорема Томсона).

Из этой теоремы вытекает, в частности, такое следствие: введение незаряженного проводника в поле заданных зарядов (заряженных проводников) уменьшает полную энергию поля. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить энергию истинного поля, которое установится после введения проводника, с энергией фиктивного поля, соответствующего отсутствию индуцированных зарядов на введенном проводнике. Первая, будучи минимально возможной, меньше второй, которая в то же время совпадает с энергией первоначального поля (так как при отсутствии индуцированных зарядов поле «проникло» бы внутрь проводника, не изменившись). Этот результат можно сформулировать и другим образом: незаряженный проводник, расположенный вдали от системы заданных зарядов, притягивается к ним.

Наконец, можно показать, что проводник (заряженный или незаряженный), внесенный в электростатическое поле, вообще не может находиться в устойчивом равновесии под влиянием одних только электрических сил. Это утверждение обобщает указанную в конце предыдущего параграфа аналогичную теорему для точечного заряда и может быть получено путем совместного применения последней и теоремы Томсона; мы не станем приводить здесь соответствующих рассуждений.

Формула (2,9) удобна для вычисления энергии системы проводников, находящихся на конечных расстояниях друг от друга. Особого рассмотрения, однако, требует энергия незаряженного проводника, находящегося в однородном внешнем поле которое можно представлять себе созданным зарядами, находящимися на бесконечности.

Согласно (2,2) эта энергия равна где — удаленный заряд, создающий поле, а ф — потенциал поля, создаваемого рассматриваемым проводником в точке нахождения заряда (из исключена энергия заряда в его собственном поле, как не имеющая отношения к интересующей нас энергии проводника). Заряд проводника равен нулю, но под влиянием внешнего поля проводник приобретает дипольный электрический момент, который мы обозначим через Потенциал поля электрического диполя на большом расстоянии от него есть, как известно, . Поэтому

Но является в то же время напряженностью поля, создаваемого зарядом . Таким образом,

В силу линейности всех уравнений поля очевидно, что компоненты дипольного момента являются линейными функциями компонент напряженности . Коэффициенты пропорциональности между и имеют размерность куба длины и поэтому пропорциональны объему проводника:

где коэффициенты зависят только от формы тела. Совокупность величин составляет тензор поляризуемости тела. Этот тензор симметричен: (доказательство этого утверждения дано в § 11). Соответственно, энергия (2,12) представится в виде