ГЛАВА VIII. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

§ 65. Уравнения движения жидкости в магнитном поле

Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находится в магнитном поле, то при ее гидродинамических движениях в ней индуцируются электрические поля и возникают электрические токи. Но на токи в магнитном поле действуют силы, которые могут существенно повлиять на движение жидкости. С другой стороны, эти токи меняют и само магнитное поле. Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений, которая должна рассматриваться на основе совместной системы уравнений поля и уравнений движения жидкости.

В область применений магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты — от жидких металлов до космической плазмы. Мы не будем обсуждать специфические условия, существующие в различных конкретных объектах. Укажем лишь, что для буквальной применимости магнитной гидродинамики необходимо, разумеется, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В некоторых случаях, однако, уравнениями, совпадающими формально с уравнениями магнитной гидродинамики идеальной жидкости, может описываться и движение среды с большой длиной пробега. Такая ситуация имеет, например, место в неравновесной плазме с температурой электронов, много большей температуры ионов (ср. X § 38).

Магнитная проницаемость сред, о которых фактически идет речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет значения для изучаемых здесь явлений. Поэтому везде в этой главе мы будем полагать .

Составим, прежде всего, систему магнитогидродинамических уравнений в условиях, когда можно пренебречь всеми диссипативными процессами для идеальной жидкости.

Это значит, что не учитываются как процессы вязкости и теплопроводности, так и конечность электрической проводимости среды а; последняя рассматривается как сколь угодно большая.

Положив в уравнениях (63,7) , пишем

Гидродинамические уравнения содержат уравнение непрерывности

( — плотность жидкости) и уравнение Эйлера

где -объемная плотность сторонних, в данном случае электромагнитных, сил. Согласно (35,4) имеем

Таким образом, уравнение движения жидкости принимает вид

К этим уравнениям надо еще присоединить уравнение состояния

связывающее между собой давление, плотность и температуру жидкости, и уравнение сохранения энтропии, выражающее адиабатичность движения в отсутствие диссипации:

где - энтропия единицы массы жидкости, а

обозначает «субстанциональную» производную, определяющую изменение величины при перемещении вместе с движущейся частицей жидкости. Уравнения (65,1-6) и составляют полную систему магнитогидродинамических уравнений идеальной жидкости.

Как известно, уравнение Эйлера может быть приведено (с использованием также и уравнения непрерывности) к виду, выражающему закон сохранения импульса:

где — тензор плотности потока импульса (см. VI § 7). В отсутствие сторонних сил

Преобразовав последний член в уравнении (65,4) с помощью равенства

и учтя также, что , найдем, что в магнитной гидродинамике

(65,8)

Как и должно быть, к тензору добавляется максвелловский тензор напряжений.

Закон сохранения энергии в обычной гидродинамике выражается уравнением

где — внутренняя энергия и тепловая функция единицы массы жидкости; оно автоматически следует из уравнений движения (см. VI § 6). При наличии в проводящей среде магнитного поля к плотности энергии добавляется магнитная энергия , а к плотности потока энергии — вектор Пойнтинга . В последнем надо при этом выразить Е через Н согласно формуле

получающейся из (63,2) при (и конечном ). Таким образом, сохранение энергии в магнитной гидродинамике выражается уравнением

где плотность потока энергии

(65,11)

Легко проверить это уравнение и прямым вычислением.

В основе написанной системы магнитогидродинамических уравнений лежит пренебрежение током смещения в уравнениях Максвелла. Это значит, что предполагается

(65,12)

Выразив Е через Н согласно (65,9), получим отсюда условие

(65,13)

где — характерные для данного движения параметры длины и времени.

Из (65,2) имеем оценку и тогда из (65,13) находим условие движение должно быть нерелятивистским (что и предполагалось нами с самого начала). Из уравнения же (65,4) имеем оценку в совокупности с (65,13) это дает условие для величины магнитного поля:

(65,14)

Обратим внимание на то, что в левой стороне уравнения (65,10) нет электрической энергии а в левой стороне уравнения (65,7) нет импульса электромагнитного поля . Это — автоматическое следствие пренебрежения током смещения. Малость электрической энергии по сравнению с магнитной соответствует неравенству , а малость по сравнению с — неравенству (65,14).

Вернемся к уравнению (65,2); ему может быть дано важное наглядное истолкование (Н. Alfven, 1942). Раскроем в правой стороне уравнения, учтя при этом, что

Подставив сюда согласно уравнению непрерывности (65,3)

получим после простой перегруппировки членов:

(65,15)

С другой стороны, рассмотрим какую-либо «жидкую линию», т. е. линию, перемещающуюся вместе с составляющими ее частицами жидкости. Пусть - элемент длины этой линии; определим, как он меняется с течением времени. Если v есть скорость жидкости в точке на одном конце элемента 61, то ее скорость на другом конце есть Поэтому в течение времени элемент изменится на , т. е.

Мы видим, что изменение векторов со временем определяется одним и тем же уравнением. Отсюда следует, что если в начальный момент эти векторы совпадают по направлению, то они останутся параллельными и в дальнейшем, а их длины будут меняться пропорционально друг другу. Другими словами, если две бесконечно близкие частицы жидкости находятся на одной и той же силовой линии, то они будут находиться на одной и той же силовой линии и в дальнейшем, а величина будет меняться пропорционально расстоянию между ними.

Переходя от бесконечно близких точек к точкам, находящимся на любом конечном расстоянии друг от друга, мы приходим к выводу, что каждая силовая линия перемещается вместе с находящимися на ней жидкими частицами. Можно сказать, что (при а ) магнитные силовые линии как бы вморожены в вещество жидкости, перемещаясь вместе с ним. Величина же меняется в каждой точке пропорционально растяжению соответствующей «жидкой линии». Если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой, то и тогда пропорционально растяжению силовых линий меняется сама напряженность Я.

Эти результаты имеют и другой наглядный аспект. Из них следует, что при перемещении со временем какого-либо замкнутого жидкого контура он не будет пересекать силовых линий. Это значит (ср. § 63), что поток магнитного поля через всякую поверхность, опирающуюся на жидкий контур, остается неизменным во времени.