§ 35. Силы в магнитном поле

Для определения сил, действующих на вещество в магнитном поле, нам почти не понадобится производить новых вычислений ввиду полной аналогии с электрическим случаем. Аналогия связана, прежде всего, с тем, что выражения для термодинамических величин в магнитном поле отличаются от выражений в электрическом поле лишь заменой букв Е, D соответственно на Н, В. При вычислении тензора напряжений в § 15 была использована потенциальность электрического поля, являющаяся следствием уравнения Магнитное же поле удовлетворяет уравнению

сводящемуся к лишь в отсутствие токов проводимости. Но при вычислении тензора напряжений вообще следует всегда полагать . Поскольку j связано с производными от магнитного поля, то учет токов при вычислении напряжений означал бы введение в тензор напряжений исчезающе малых поправок, связанных с неоднородностью поля примечание на стр. 92).

Таким образом, все полученные в §§ 15 и 16 формулы для тензора напряжений непосредственно переносятся на магнитное поле. Так, в жидкой среде при линейной связи имеем

Объемные силы вычисляются отсюда согласно . Если среда является проводящей и в ней течет ток, то вычисление отличается от произведенного в § 15 тем, что вместо уравнения имеем уравнение (35,1).

Дифференцируя (35,2) и учитывая при этом равенство находим

Но, согласно известной формуле векторного анализа,

и окончательно

По сравнению с аналогичной формулой (15,12) здесь добавляется еще один (последний) член. Было бы, однако, неправильным думать, что появление этого члена означает физическую возможность отделить в f силу, связанную с током проводимости, от других эффектов. Дело в том, что ввиду уравнения (35,1) ток j неотделим от неоднородности поля, а производные от поля по координатам входят и в другие члены в (35,3). При заметно отличной от 1 магнитной проницаемости вещества все члены в (35,3), вообще говоря, одного порядка величины.

Но если, как это обычно бывает, , близко к 1, то при наличии тока проводимости последний член в (35,3) дает основной вклад в силу, по сравнению с которым остальные члены являются лишь несущественной малой поправкой. Тогда при вычислении сил можно полагать и мы имеем просто

(член — здесь и ниже нас не интересует, и мы его опускаем). При свойства вещества вообще никак не отражаются на магнитных явлениях и выражение (35,4) для силы в равной степени относится как к жидким, так и твердым проводникам. Полная сила, действующая в магнитном поле на проводник с током, дается интегралом

Формулу (35,4) можно, разумеется, весьма просто получить и непосредственно на основании известного выражения лоренцевой силы. Макроскопическая сила, действующая в магнитном поле на неподвижное тело, есть не что иное, как усредненное значение лоренцевых сил, действующих на составляющие тело заряженные частицы со стороны микроскопического поля h:

Но при поле h совпадает со средним полем Н, а среднее значение совпадает с плотностью тока проводимости.

При движении проводника силы (35,4) производят над ним некоторую механическую работу. На первый взгляд может показаться, что здесь имеется противоречие с тем, что лоренцевы силы не производят над движущимися зарядами никакой работы. В действительности, конечно, никакого противоречия нет, так как в движущемся проводнике в работу лоренцевых сил входит не только механическая работа, но и работа электродвижущих сил, индуцированных в проводнике при его движении. Эти две работы равны по величине и противоположны по знаку (см. примечание на стр. 304).

В выражении (35,4) Н есть истинное значение магнитного поля, создаваемого как посторонними источниками, так и самими токами, на которые эта сила действует. Однако при вычислении полной силы согласно (35,5) можно понимать под Н лишь внешнее поле в которое вносится проводник с током. Собственное поле, производимое данным проводником, в силу закона сохранения импульса не может дать вклад в действующую на него самого полную силу.

Вычисление сил особенно просто для линейного проводника. Магнитные свойства его вещества вообще несущественны, а если в среде то полная действующая на него сила дается линейным интегралом

Это выражение можно представить и в виде интеграла по поверхности, охватываемой контуром тока. Заменяя согласно теореме Стокса оператором получим

Далее пишем:

Ho , а в пространстве вне токов также и . Таким образом,

В частности, в квазиоднородном внешнем поле можно вынести вместе с оператором V из-под знака интеграла. Вводя также магнитный момент тока согласно (30,18), мы придем тогда к естественному результату:

Поскольку М в этой формуле есть постоянная величина, то можно написать F также и в виде

(что находится в соответствии с выражением (33,17) для энергии тока). Момент же сил, действующих на ток в квазиоднородном поле, как легко убедиться, равен обычному выражению

(35,10)

Задача

Определить силу, действующую на линейный прямой провод с током J, расположенный параллельно бесконечному круговому цилиндру (с магнитной проницаемостью ) радиуса а на расстоянии l от его оси.

Решение. Ввиду указанного на стр. 160 соответствия между плоскими задачами электро- и магнитостатики, поле тока определяется путем изменения обозначений в решении задачи 3 § 7. Поле в пространстве вокруг цилиндра совпадает с полем, которое создавалось бы в пустоте током J и токами и проходящими соответственно через точки А и О (см. рис. 12), причем

Поле же внутри цилиндра совпадает с полем, которое создавалось бы током

проходящим через точку О. Сила, действующая на единицу длины проводника,

Аналогичным образом найдем (см. задачу 4 § 7), что линейный проводник, проходящий внутри цилиндрического отверстия в магнитной среде, притягивается к ближайшей части поверхности отверстия с силой