3.3. Приложение принципа стационарной фазы к сложным сигналам общего вида

Принцип стационарной фазы может быть применен к осциллирующим функциям, которые имеют непрерывные первые производные. Некоторыми такими функциями описывается большой класс сигналов, позволяющих осуществлять сжатие импульса с помощью согласованных фильтров, построение которых основано на использовании методов частотной модуляции. ЛЧМ сигналы представляют собой частный случай сигналов этого общего класса. Спектр сигнала, задаваемого формулой (3.1), равен

Это выражение может быть переписано в виде

где соответственно положительная и отрицательная части спектра. Будем предполагать, что соответствующие центральные частоты достаточно далеко разнесены друг от друга, так что влияние в положительной области частот пренебрежимо мало.

Рис. 3.3. Положительная и отрицательная части спектра.

Это условие графически показано на рис. 3.3. Здесь сигнал является узкополосным и может использоваться комплексное представление сигнала. Из уравнения (3.4) получаем, что Следовательно, результаты предыдущего раздела могут быть применены для анализа узкополосных частотно-модулированных сигналов. Комплексный спектр сигнала, задаваемого равенством (3.1), равен

Условия стационарной фазы для равенства (3.14) даны в уравнении (3.7). Воспользуемся выкладками, приводящими к (3.11). В соотношении является постоянной величиной. Следовательно, члены, зависящие только от могут быть вынесены за знак интеграла. Это приводит к выражению

Произведем следующую замену переменных:

так что

В этом случае выражение для спектра вблизи точки принимает вид

Интеграл в равенстве (3.16) есть одна из форм записи интеграла Френеля и если верхний предел достаточно велик, то его можно аппроксимировать выражением

Подставляя (3.17) в равенство (3.16), получаем, что выражение для спектра около точки имеет вид

Предполагая, что соотношение (3.17) выполняется при всех значениях получаем следующее выражение:

где обозначение указывает на зависимость используемой переменной (частоты) от Вывод, который приводит к получению (3.19), аналогичен выводу Кея и др. 11, 21, где принята точка зрения, что переданный сигнал представляет собой выходной сигнал одного из двух согласованных фильтров (один на передатчике и один на приемнике, как показано на рис. 3.4, а). В комплексной форме этот сигнал записывается так:

где есть фазовая функция спектра. Точка стационарной фазы для (3.20) задается уравнением

Окончательное соотношение, эквивалентное равенству (3.19), которое может быть получено с помощью только что описанного метода стационарной фазы, имеет вид

Рис. 3.4. Возможные схемы построения приемных и передающих устройств, использующих согласованные фильтры: а — передающее устройство, использующее согласованный фильтр с нелинейной ЧМ (вверху); приемное устройство, содержащее согласованный фильтр с нелинейной ЧМ (внизу); б - активный генератор сигнала с нелинейной ЧМ; в — возможная схема приемника.

Заменяя на в равенстве (3.18), видим, что фазовый спектр приближенно задается равенством

Дифференцируя по , получаем

Применяя условие стационарной фазы, задаваемое равенством (3.7), видим, что (3.24) принимает вид

Данное приближенное соотношение, полученное путем применения метода стационарной фазы для анализа преобразования Фурье временной функции, совпадает с определением точки стационарной фазы, задаваемым равенством (3.21) для преобразования Фурье спектральной функции. Это указывает на эквивалентность соотношений, определяемых равенствами (3.19) и (3.22). Они представляют собой набор параметрических равенств, которые могут быть использованы для получения приближенных выражений для если задан вид сигнала, или для нахождения если задан спектр вместе с фазовой функцией

В большинстве случаев эти приближенные выражения могут быть достаточно точными.

В обычном для радиолокации случае постоянно в течение длительности сигнала и равенство (3.22) может быть непосредственно использовано для нахождения временной зависимости задержки согласованного фильтра, необходимой для определения вида модуля спектра Системы согласованных фильтров на приемной и передающей сторонах для этого случая показаны на рис. 3.4, а. Импульсный отклик фильтра передатчика и есть искомый несжатый модулированный по частоте сигнал. Фильтры в передатчике и приемнике можно взаимно поменять местами. Две возможных функции для которые удовлетворяют требованиям равенства (3.22), являются комплексно-сопряженными функциями. На передатчике может быть использован и активный ЧМ генератор, как показано на рис. 3.4, б, для того чтобы заменить один из двух согласованных фильтров. Необходимая в этом случае функция частотной модуляции получается из уравнения (3.19). В специальном частном случае, когда обладает нечетной симметрией, одна и та же функция может быть использована и на передатчике, и в приемнике при условии, что применяется метод инверсии полосы частот, как это показано на схеме возможной структуры приемника на рис. 3.4, в. Это и другие применения приемо-передающих согласованных фильтров для ЧМ сигналов, позволяющих осуществлять сжатие импульса, будут рассматриваться далее в гл. 6.

Из приведенного в гл. 1 примера ЛЧМ сигнала интуитивно кажется очевидным, что функция частотной модуляции и функция групповой задержки согласованного фильтра связаны обратной зависимостью. Это было бы в случае, если бы равенства (3.19) и (3.22) давали хорошее приближение для связей между параметрами одного и того же сигнала. Следующие выкладки, выполненные Фоулом [41, показывают, что в общем случае это заключение справедливо. Рассмотрим условия стационарной фазы,

определяемые в (3.7) и (3.21). Итак,

Пусть

Тогда условия (3.26а) перейдут в

Из приведенного Еьчие рагенства получаем следовательно,

Равенство (3.27) показывает, что закон изменениямгновенной частоты и функция групповой временнбй задержки есть обратные функции.

Рис. 3.5. Соотношение между задержкой в согласованном фильтре и функцией частотной модуляции I для сигнала с нелинейной ЧМ.

Это проиллюстрировано на рис. 3.5. Такое соотношение может быть также выражено в виде

где

Следует заметить, что равенства (3.27) или (3.28) на самом деле являются приближенными, как показывает выражение (3.24), которое зависит от функций

и

связанных преобразованием Фурье. Так как анализ по методу стационарной фазы приводит к приближенным соотношениям,

связывающим то и преобразование Фурье также является приближенным и задается соотношениями

Для большинства ЧМ сигналов качество приближения улучшается с ростом произведения длительности сигнала на полосу частот. Равенство (3.28) удовлетворяется с возрастающей точностью для сигналов с большим произведением длительности на полосу частот. Вопросы о том, насколько велико должно быть произведение длительности на полосу частот, и как оно должно зависеть от типа сигнала, обсуждаются в разд. 3.4.

При некоторых радиолокационных применениях может оказаться возможным модулировать передаваемый сигнал по амплитуде. В системах с высокой мощностью это должно привести к потерям в передаваемой энергии. Если, однако, способность обнаружения не является наиболее важной характеристикой, то такая модификация может оказаться полезным методом, позволяющим осуществлять сжатие импульса с малым уровнем боковых лепестков [5]. Кроме того, существуют и другие области радиоэлектроники, в которых возможность одновременного использования амплитудной и частотной модуляции передаваемого сигнала является полезной. Метод построения сложных сигналов, в которых огибающая импульса и модуль спектра определены независимо, подробно разработан Фоулом [4]. Ниже мы в общих чертах рассмотрим этот метод.

Из условия стационарности фазы (3.17) с помощью дифференцирования получаем

и отсюда путем подстановки в равенство (3.22)

Используя соотношение между определяемое в (3.5) (теорема Парсеваля), получаем следующие интегральные выражения 1:

или

Равенства (3.32) и (3.33), каждое в отдельности, определяют возможное решение для фазовых функций Как будет показано, два решения для каждой фазовой функции являются комплексно-сопряженными функциями. Фоул сделал следующие определения:

где -энергия, соответствующая комплексному сигналу [см. равенство (3.5)]. Из (3.32) получаем

Применение равенства (3.21) дает в результате

и

Используя уравнение (3.33), получаем

и

где постоянные интегрирования.

Аналогичные соотношения для могут быть получены с помощью той же самой процедуры. В результате имеем

Решения для позволяют построить две пары приближенных преобразований Фурье:

Мы получим условия согласованной фильтрации, выраженные через огибающую автокорреляционной функции выходного сигнала согласованного фильтра, которая задается соотношением

Точность приближенных преобразований Фурье, задаваемых равенствами (3.44а) и (3.44б), зависит от типа сигнала и величины произведения длительности на полосу сигнала. В следующем разделе приводятся примеры применений результатов, полученных с помощью метода стационарной фазы для анализа и построения сложных сигналов.