2.2. Критерий отношения сигнал/шум

Отношение сигнал/шум, которое чаще всего используется при рассмотрении радиолокационных систем, определяется как

В настоящем разделе мы определим свойства линейной системы (фильтра), которая максимизирует отношение, задаваемое равенством (2.3).

Пиковая мгновенная мощность сигнала есть, по определению, квадрат максимального напряжения выходного сигнала в отсутствии шума, измеряемого на нормированной выходной нагрузке 1 ом. В этом случае напряжение сигнала может быть записано как

где спектр сигнала и передаточная функция системы.

Рассмотрим момент времени , в который достигает максимума, причем больше или равно длительности сигнала. Тогда

Представим далее нормированную мощность шума на выходе фильтра в виде

где есть односторонняя спектральная плотность мощности шума на входе фильтра, выраженная в ваттах на герц. Таким образом, отношение сигнал/шум, задаваемое равенством (2.3), может быть записано как

Поскольку мы трактуем оптимизацию как нахождение наилучшей при условии, что все остальные параметры фиксированы (т. е. входной сигнал и то для нахождения этой функции можно, применить метод вычисления вариации, предполагая, что может изменяться в окрестности соответствующей оптимальной функции (если она существует).

При вычислениях удобнее использовать логарифм отношения сигнал/шум, как это делал Норе, так что выражение, которое мы будем рассматривать, имеет вид

Изменение отношения сигнал/шум вследствие вариации можно выразить через и в которые неявно входит следующим образом:

Из равенства (2.8) можно получить введенные выше частные производные 1 в виде

Подставляя их в равенство (2.9), получаем

Использовав выражения для из равенств (2.5) и (2.6) соответственно, приведем (2.11) к виду

Так как вариация произведения равна

то при дополнительно наложенном ограничении, что

есть действительная функция, можно показать

и, следовательно,

Применение формул (2.13) — (2.16) и подстановка результата в выражение для дают возможность вынести выражение, содержащее вариацию за скобки, так что равенство (2.12) примет вид

Приравняв это последнее соотношение можно получить условия, определяющие стационарную точку в зависимости от отношения сигнал/шум. Для того чтобы это нулевое значение существовало и было независимым от вариациойного изменения должны удовлетворяться следующие условия:

Так как постоянные величины, то это приводит к выражению

что совпадает с определением передаточной функции оптимального фильтра, приведенным в гл. 1.

В качестве второго возможного подхода к определению свойств оптимального фильтра покажем, что задаваемое равенством (2.19), действительно дает максимальное значение отношения сигнал/шум, которое может быть получено при использовании следующих эквивалентных выражений для где через обозначен импульсный отклик фильтра

и

причем это последнее выражение можно получить из равенства (2.6) путем применения теоремы Парсеваля, в соответствии с которой энергия сигнала может быть определена как через спектральную характеристику так и через временную функцию Применение этих соотношений к равенству (2.3) приводит к следующей форме определения отношения сигнал/шум:

Используя неравенство Шварца, получаем

откуда следует, что отношение сигнал/шум будет максимальным при

которое представляет собой просто преобразование Фурье Тем самым мы получили другое возможное определение согласованного фильтра.

Из приведенных выше рассуждений очевидно, что максимальное значение отношения сигнал/шум может быть выражено в виде

Отметим, что числитель в выражении (2.24) представляет собой полную энергию сигнала Это приводит к интересному выводу о том, что возможность обнаружения сигнала произвольного вида зависит только от содержащейся в сигнале энергии и не определяется временной структурой сигнала. Однако для практической реализации этого Ьывода необходимо производить обработку сигнала с помощью согласованного фильтра.

Подставляя полученные характеристики фильтра, оптимизирующего выходное отношение сигнал/шум в два возможных выражения для получим следующие соотношения:

и

В первом из этих выражений можно узнать определение автокорре: ляционной функции сигнала откуда следует эквивалентность

согласованной фильтрации и корреляционной обработки. Связь между характеристиками сигнала и согласованного фильтра графически показана на рис. 1.2.

Для того чтобы обосновать использование критерия отношения сигнал/шум, можно исследовать влияние этого отношения на функционирование системы. В этом случае одной из лучших характеристик функционирования системы является вероятность того, что в процессе обнаружения будет сделана ошибка. Рассмотрим, например, систему связи, предназначенную для передачи случайных бинарных посылок с помощью включения и выключения сигнала. В точке приема необходимо принять некоторое решение об одном из двух возможных состояний посылки. Наличие шума, однако, приведет к тому, что некоторые решения будут неправильными. Вероятность ошибки определяется выражением

где

где пороговое напряжение (критерий решения), отношение сигнал/шум и А — амплитуда принимаемого сигнала, который представляет собой одно из состояний посылки, Это соотношение получено в предположении, что шум в системе гауссов, что каждое из состояний посылки имеет равную вероятность (т. е. ), что решение принимается на основании единственного выборочного значения сигнала и что процесс принятия решения состоит в сравнении выборки сигнала с заранее установленным пороговым уровнем. Из равенства очевидно, что большее значение отношения сигнал/шум соответствует меньшему значению вероятности ошибки. Отсюда делаем вывод, что при обработке принимаемого сигнала следует максимизировать отношение сигнал/шум.

Если мешающий шум гауссов, но не белый, и если ему может быть приписана спектральная плотность мощности то равенство (2.6) записывается в виде

Вывод, аналогичный выводу соотношений (2.9) — (2.19), дает в этом случае общее выражение для оптимизирующее отношение сигнал/шум