9.3. Влияние коэффициента частотно-временной связи на величину теоретических ошибок измерения

Коэффициент частотно-временной связи, выражение для которого получено в гл. 5, может быть представлен в виде где

или

Здесь функция фазовой модуляции сигнала; групповая задержка в согласованном фильтре.

Коэффициент частотно-временной связи приобретает большое значение в том случае, когда дальность и скорость необходимо оценить одновременно. Тогда дисперсии ошибок измерения определяются соотношениями

Ниже выясняется влияние величины на теоретические ошибки измерения при использовании рассмотренных в предыдущем разделе сигналов с однонаправленной ЧМ. В большинстве случаев результирующие ошибки измерения будут получены для предельных условий, когда произведение длительности на полосу сигнала достаточно велико. Как будет показано в дальнейшем, предложенная процедура аппроксимации поведения спектра на краях применительно к ЛЧМ сигналу с прямоугольной огибающей может дать приемлемое качественное описание зависимости величины от однако она непригодна для количественной оценки влияния коэффициента частотно-временной связи в условиях, когда коэффициент сжатия увеличивается. Для того чтобы уравнения (9.30) и (9.31) всегда давали положительные значения и сигналы должны удовлетворять следующему условию:

Неравенство (9.32) используется для контроля рассчитанных значений параметров

Сигнал с гауссовой огибающей и линейной ЧМ

Значение для этого сигнала легче всего вычисляется из (9.29), в котором необходимо принять Тогда

Из (9.12) и (9.13) получаем

а отсюда выражениями для дисперсий ошибок будут

в которых для вычисления величины используются (9.12) и (9.13).

При условии, что произведение длительности сигнала на полосу больше 10, формулы (9.35) можно аппроксимировать соотношением

Если необходимо рассчитать дисперсию ошибки при измерении запаздывания, то

что после подстановки в (9.36) дает

Подобным же образом можно получить

Формулы (9.38, а) и (9.38, б) показывают, что при нахождении совместных оценок для дальности и скорости теоретические среднеквадратичные ошибки не зависят от величины произведения длительности сигнала на его полосу.

Рис. 9.6. Проекции функции сигнала с гауссовой огибающей и большим значением произведения на вертикальные плоскости, проходящие через временную и частотную оси.

Поэтому, если только длительность сигнала сделать постоянной, теоретическая среднеквадратичная ошибка при измерении дальности не будет зависеть от ширины полосы частотной модуляции сигнала, так же как это имело бы место и в случае сигнала, у которого Интересно отметить, что для ЛЧМ сигнала с гауссовой огибающей величины и представляют собой моменты второго порядка показанных на рис. 9.6 проекций годографа максимальных значений функции отклика на вертикальные плоскости, проходящие соответственно через

временную и частотную оси диаграммы неопределенности. Это полезное соотношение можно применить для оценки дисперсий ошибок других ЛЧМ сигналов, обрабатываемых согласованным фильтром.

Сигнал с прямоугольной огибающей и линейной ЧМ

Замечая, что для этого сигнала при нетрудно вычислить величину На основании (9.28) получаем

Если использовать значение рассчитанное при условии экспоненциальной аппроксимации поведения спектра на краях, определяемой формулой (9.17), то при больших значениях для дисперсий ошибок измерения получаются выражения

Формулы (9.40 а) и (9.40 б) представляют интерес, хотя и не дают ожидаемую зависимость дисперсий (отнесенных к омин) от параметра Они иллюстрируют сложность проблемы, заключающейся в том, чтобы путем улучшения приближенного выражения для попытаться получить численные решения и в тех случаях, когда огибающая зондирующего импульса имеет скачки. Если сделанное ранее на основании (9.8) заключение (т. е. что понимать буквально, то независимо от значений ошибка измерения дальности будет равняться нулю. Безусловно, это следствие неудачного выбора в качестве меры ширины спектра сигнала момента второго порядка функции и является поводом для различных аппроксимаций параметра предложенных в работах Сколника 12] и Манасса [9] в предыдущем разделе. Пример экспоненциальной аппроксимации поведения спектра на краях показывает, что подобная процедура позволяет получить хорошее приближение к теоретическому спектру сигнала и удовлетворить условию (9.32), однако при количественном определении свойств совместной оценки она оказывается бесполезной.

В гл. 4 были описаны другие меры оценки для ширины спектра и длительности сигнала, но они применялись главным образом при анализе разрешения целей по дальности или частоте и не имели

отношения к задаче оценки параметров, в которой влияние коэффициента частотно-временной связи является существенным. Практически параметр никогда не может стать бесконечным, поскольку реализуемые на практике огибающие сигналов не получаются разрывно-ступенчатыми. Для большинства сигналов, у которых произведение длительности на полосу существенно больше единицы, имеется предельное распределение функции которое может быть использовано для получения конечных значений и сравнения различных сигналов по достижимым точностям измерений.

Для ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей можно получить более реалистичную зависимость дисперсий ошибок от параметра аналогичную полученной ранее для сигнала с гауссовой огибающей и линейной ЧМ.

Рис. 9.7. Проекции функции макс Для ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей.

В случае сигнала с прямоугольной огибающей проекция годографа максимальных значений функции отклика фильтра на вертикальную плоскость во временнбм и частотном измерениях представляют собой треугольные функции, показанные на рис. 9.7. Моменты второго порядка этих функций равны соответственно и При условии, что произведение велико (т. е. ), и использовании (9.38 а) и (9.38 б) получим

Заметим, что тогда (9.41а) и (9.416) перепишутся в виде

Отсюда вытекает ожидаемая зависимость от параметра показывающая, что путем применения линейной частотной модуляции сигнала существующие теоретические погрешности измерений, определяемые формулами (9.41 а) и (9.41 б), уменьшить нельзя. Этот вывод можно распространить на любой ЛЧМ сигнал, пропущенный через согласованный фильтр, если определить геометрическое место точек максимальных значений функции отклика, вычислить моменты второго порядка проекции ее сечений, производимых вдоль временнбй и частотной осей, на вертикальную плоскость и затем получить выражения, эквивалентные формулам (9.38) или (9.41).

Полученные формулы для дисперсий ошибок при использовании ЛЧМ сигналов основываются на подразумеваемом предположении, что интервал допплеровских смещений частоты является величиной того же порядка, что и ширина спектра сигнала. Однако это условие выполняется редко. Если же диапазон допплеровских частот много меньше ширины спектра сигнала, то ошибки при измерении дальности для ЛЧМ сигнала с прямоугольной огибающей будут в значительной степени уменьшаться. Относящиеся сюда вопросы рассматриваются в разд. 9.5.

Сигнал с однонаправленной параболической ЧМ

Функция частотной модуляции для сигнала с однонаправленной параболической ЧМ определяется соотношением

где Выражение в скобках представляет собой Используя это обстоятельство, из (9.28) получаем

т. е., как и в случае ЛЧМ сигнала. Параболическая ЧМ, показанная на рис. 9.4 пунктиром, также приводит к (9.44). Когда произведение длительности сигнала на его полосу велико, то из (9.7) и (9.22), последнее из которых дает предельную величину

параметра при больших значениях вытекает следующее соотношение между дисперсиями ошибки:

Отсюда видно, что у такого сигнала дисперсии ошибок являются ограниченными (по отношению к величинами, а фактические ошибки измерения с увеличением или будут уменьшаться.

Сигнал с нелинейной ЧМ, спектр которого описывается функцией косинус в квадрате

Для рассматриваемого сигнала с нелинейной ЧМ групповая задержка по времени на выходе согласованного фильтра имеет вид

а поэтому

Подстановка уравнения в (9.29) приводит к

На основании уравнений (9.7), (9.25) и (9.48) имеем после чего получаем соотношение, справедливое при больших значениях

и в этом случае нелинейная ЧМ приводит к выражениям для дисперсий ошибок, которые являются ограниченными величинами относительно Омин Появление более высокого по отношению к сигналу с однонаправленной параболической ЧМ граничного значения дисперсии можно отнести за счет значительной линейной компоненты, которая содержится в нелинейной функции модуляции, приводящей к косинус-квадратной форме спектра.

В табл. 9.1 приведены выражения для множителей, определяющих коэффициент частотно-временной связи для сигналов с прямоугольной огибающей и нелинейной ЧМ, спектры которых

описываются функцией Хэмминга и косйнусом. Для этих сигналов указаны также предельные значения дисперсий ошибок. Выражение для производной сигнала, спектр которого описывается функцией Хэмминга, можно вывести из (3.74), приняв