2.3. Критерий отношения правдоподобия и статистическая теория решений

Из равенства (2.27) следует, что вероятность ошибки зависит не только от величины отношения сигнал/шум, но также и от используемого критерия решения. При

это дает возможность минимизировать вероятность ошибки Для условий, сформулированных в предыдущем разделе, это минимальное значение имеет место при и составляет

Можно показать, что решение, принимаемое на основе измерения единственной выборки принятого сигнала и сравнения его с порогом эквивалентно принятию решения на основе критерия:

Здесь условная вероятность того, что напряжение принимаемого сигнала будет лежать в интервале значений при условии, если принимаемый сигнал является суммой сигнала и шума. Аналогично, будет условной вероятностью того, что напряжение принимаемого сигнала лежит в том же самом интервале значений при условии присутствия на входе приемника только шума. Отношение этих вероятностей, обозначаемое через есть так называемое отношение правдоподобия; оно является одной из основных формул теории статистических решений и теории оценки параметров.

Вероятность ошибки всегда будет минимальной, если решение о наличии сигнала амплитуды А и шума принимается при

а решение о наличии только шума принимается когда

где вероятность того, что принимаемая посылка состоит только из шума и вероятность того, что принятая посылка

состоит из суммы сигнала и шума. Этот критерий известен как решающее правило Байеса и основан на точке зрения введенного Зигертом [6] «идеального наблюдателя», который минимизирует общую вероятность ошибки. Однако, так как значения при приеме обычно не известны, как это имеет место в радиолокации, то критерий, использующий отношение заменяется критерием решения, разработанным на основании теории проверки статистических гипотез Неймана — Пирсона [4].

Основная идея этой теории заключается в сохранении фиксированной вероятности ошибки для случая, когда принимаемый сигнал состоит только из шума. Эта фиксированная вероятность получила название вероятности ложной тревоги. Правило принятия решения определяется при этом минимизацией вероятности ошибки для случая, когда принимаемый сигнал представляет собой сумму сигнала и шума; это эквивалентно максимизации вероятности обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги. Найденный в результате указанной процедуры статистический критерий должен включать также использование отношения правдоподобия и решающего правила байесовского типа. Подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в работе Миддлтона 17].

До настоящего времени наше внимание было направлено на применение статистических критериев для обнаружения сигналов при использовании единственной выборки его с тем, чтобы облегчить понимание путей развития важных статистических принципов. Оптимальная додетекторная обработка в этом случае состоит в том, чтобы выдать наблюдателю (человеку или какому-либо устройству) принимаемый сигнал в его необработанной форме. В общем случае, однако, для обнаружения используется более одной статистически независимой выборки сигнала. Можно показать, что если состояние посылки постоянно в интервалах между моментами времени, в которые берутся выборки, то оптимальной до детекторной системой является интегратор. Если, однако, состояние посылки изменяется во времени на протяжении этого интервала, то таким оптимальным додетекторным приемным устройством будет коррелятор. Ниже мы исследуем этот вопрос подробнее.

В случае большого числа выборок, если известна точная форма посылки сигнала, отношение правдоподобия записывается в следующем виде:

Символ можно рассматривать как точку, лежащую в многомерном пространстве с координатами, где В — полная полоса шума и интервал наблюдения. Координатами точки в этом пространстве являются измеренных значений принимаемого сигнала, взятых через интервалы времени,

равные для того чтобы обеспечить статистическую независимость. Для высокочастотного сигнала в каждой точке наблюдения берутся два ортогонально связанных выборочных значения, что дает выборок. На рис. 2.1 показан способ определения выборочных значений видеосигнала. В этом случае выборки сигнала берутся через интервалы времени для того чтобы обеспечить статистическую независимость. Исчерпывающее рассмотрение теории выборок можно йайти в работе Вудворда [12].

Рис. 2.1. Пример типичной реализации огибающей отраженного радиолокационного сигнала. Показаны моменты отсчета выборочных значений

Каждой точке пространства выборочных значений соответствуют единственные значения многомерных плотностей вероятности и определяемые ими значения отношения правдоподобия. В качестве примера на рис. 2.2 показан вид двумерной плотности, соответствующей двум наблюдениям гауссова шума.

С помощью теоремы о выборках было показано, что эффективным методом обработки сигнала для получения на выходе отношения правдоподобия является корреляция этого сигнала с опорным сигналом-копией передававшегося сигнала

Если принятый сигнал содержит то результат вычисления корреляции можно записать в виде

Это выражение представляет собой энергию переданного сигнала с небольшой добавкой, определяемой корреляцией между переданным сигналом и шумом. Вспомним, что сигнал на выходе согласованного фильтра имеет вид.

Рис. 2.2. Вид первого квадрата функции плотности совместной вероятности для случая двух выборочных значений гауссова шума. Точка характеризует величину выборочных значений шума в моменты времени соответственно.

Следовательно, корреляция принятого сигнала равна выходному сигналу согласованного фильтра при Кроме того, в этот момент выходной сигнал достигает максимального значения.