ГЛАВА 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

§ 36. Неравенство Чебышева

Вся изложенная в предыдущих главах теория построена на основе понятия вероятности события, которое сформировалось в результате абстракции объективной закономерности массовых случайных явлений — устойчивости частоты события. Выводы теории вероятностей, как и всякой другой науки, должны согласоваться С практикой. Только в этом случае можно признать, что лежащие в основе науки абстрактные понятия правильно отражают объективные закономерности окружающего нас мира. В массовых случайных явлениях мы наблюдаем не только устойчивость частот событий, но и вообще устойчивость средних результатов. Каковы бы ни были результаты отдельных случайных явлений, индивидуальные особенности их течения, они сглаживаются в общей массе и средний результат большого числа случайных явлений практически не зависит от особенностей отдельных случайных явлений. Все эти факты должны вытекать из теории вероятностей как теоретические выводы. Только тогда она может служить инструментом познания окружающего нас мира. Совокупность математических теорем теории вероятностей, устанавливающих факты устойчивости средних результатов большого количества случайных явлений и слабой зависимости их от результатов отдельных случайных явлений, объединяется под названием закона больших чисел. Закон больших чисел играет для теории вероятностей роль выводов для практики, которые непосредственно проверяются практикой, и таким образом служит обоснованием практическому применению теории вероятностей.

В основе закона больших чисел лежит неравенство Чебышева, которое дает верхнюю границу вероятности неравенства и для любой существенно положительной случайной величины

Это неравенство доказывается чрезвычайно просто. На основе определения математического ожидания (10.2), принимая во внимание,

плотность вероятности случайной величины равна нулю для всех отрицательных значений и, можем написать:

откуда и вытекает неравенство (36.1).

Так как функция распределения случайной величины связана с вероятностью неравенства соотношением

то неравенство (36.1) дает оценку нижней границы функции распределения существенно положительной случайной величины:

Геометрически это неравенство означает, что кривая функции распределения существенно положительной случайной величины имеющей математическое ожидание целиком лежит выше ветви равнобочной гиперболы, проходящей через точку (рис. 16).

Рис. 16

Пусть теперь X — произвольная случайная величина. Так как случайная величина существенно положительна, то для нее справедливо неравенство (36.1). Принимая во внимание, что математическое ожидание величины равно дисперсии случайной величины X, можем представить неравенство (36.1) для случайной величины в виде:

В этом виде неравенство Чебышева и было доказано самим Чебышевым.