§ 4. Условные частоты и условные вероятности. Зависимые и независимые события

В некоторых случаях бывает необходимо выделить из всей серии произведенных опытов те опыты, в результате которых появилось некоторое событие В, и уже после такого выделения определять частоту интересующего нас события А в выделенной части опытов. Частота события вычисленная не для всех опытов, а только для последовательности тех опытов, в результате которых появилось событие В, называется условной частотой события относительно В. Таким образом, условной частотой события А относительно В

является отношение числа опытов, в результате которых появляются оба события к числу всех опытов, в результате которых появляется событие В.

Если производится опытов и при этом событие В появляется раз, а произведение событий появляется раз, то условная частота события А относительно В будет равна А так как отношения и представляют собой соответственно частоты событий то условная частота события А относительно В равна отношению частоты произведения событий к частоте события В. Иными словами, условная частота события А относительно В равна отношению частоты совместного появления событий к частоте события В.

Условные частоты обладают всеми свойствами частот и, в частности, свойством стабилизации при неограниченном увеличении числа опытов. Поэтому в качестве объективной абстрактной характеристики события А в его взаимоотношении с событием В можно ввести понятие условной вероятности события А относительно В совершенно так же, как в § 1 было введено понятие вероятности события. Так как всякая вероятность представляет собой теоретическое значение частоты события, то условную вероятность события А относительно В целесообразно определить тем же соотношением, которым условная частота события А относительно В выражается через частоты событий

На основании изложенного условной вероятностью события А относительно В называется отношение вероятности совместного появления событий А к В к вероятности события В. Обозначая условную вероятность события А относительно В символом можем записать приведенное определение условной вероятности в виде:

Если условная вероятность события А относительно В не равна вероятности события то событие А называется зависимым от В. Если же условная вероятность события А относительно В равна вероятности события А, то событие А называется независимым от В. На основании этого определения условие независимости события А от В запишется в виде:

Если событие А независимо от В, то из равенств (4.1) и (4.2) вытекает формула

на основании которой условная вероятность события В относительно А будет равна:

Отсюда следует, что если событие А независимо от 5, то и событие В независимо от т. е. независимость событий является взаимным свойством. Поэтому имеет смысл говорить лишь о взаимной зависимости или независимости событий.

Формула (4.3) выражает теорему умножения вероятностей для независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

В некоторых случаях условные вероятности сравнительно легко вычисляются. В подобных случаях формулой (4.1) можно пользоваться для вычисления вероятности совместного появления двух событий А и В:

Применяя последовательно формулу (4.5), получим следующую формулу для вероятности совместного появления событий

причем порядок нумерации событий совершенно безразличен.

Данное выше определение условной вероятности события, выраженное формулой (4.5), представляет собой принцип умножения вероятностей: вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого относительно первого.

События называются попарно независимыми, если любые два из них независимы. "События называются независимыми, если любые два произведения, не содержащие общих событий-множителей, которые можно составить из этих событий, независимы. Для независимых событий формула (4.6) принимает вид:

Таким образом, вероятность появления любого количества независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1. Опыт состоит в том, что производится одна попытка выстрелить в цель, причем независимо от того, последует выстрел или произойдет осечка, опыт считается законченным. Вероятность попадания в цель в том случае, если выстрел произойдет, равна единице. Вероятность осечки равна 0,05. Очевидно, что в этих условиях вероятность попадания в цель равна вероятности того, что произойдет выстрел, т. е. 0,95. Условная вероятность попадания относительно события В, которое заключается в том, что произойдет осечка, очевидно, равна нулю, так как попадание в цель при условии осечки есть невозможное событие. Таким образом, попадание в цель и осечка при данных условиях опыта являются зависимыми событиями.

Пример 2. Если опыт состоит в том, что производится один выстрел по той же цели, что в предыдущем примере, но осечка не засчитывается за опыт, то вероятность попадания в цель будет равна единице. Условная вероятность попадания в цель относительно события В, которое заключается в том, что произойдет осечка, тоже будет равна единице, так как в случае осечки опыт не считается законченным и продолжается до тех пор, пока не произойдет выстрел. В данных условиях опыта попадание в цель и осечка являются независимыми событиями.