§ 52. Сложение случайных функций

Рассмотрим сумму двух случайных функций, зависящих от одного и того же аргумента

Предположим, что заданы математические ожидания корреляционные функции и взаимная корреляционная функция случайных функций Найдем математическое ожидание и корреляционную функцию суммы По теореме сложения математических ожиданий можем непосредственно написать:

Вычитая это равенство почленно из (52.1), получим:

По определению корреляционной функции имеем:

или

На основании свойства (51.7) взаимных корреляционных функций двух случайных функций формулу (52.5) можно представить также в виде:

В частном случае, когда случайные функции не коррелированы, и формулы (52.5) и (52.6) принимают более простой вид:

Аналогично определяются математическое ожидание и корреляционная функция суммы произвольного числа случайных функций:

Обозначим через математическое ожидание и корреляционную функцию случайной функции а через взаимную корреляционную функцию случайных функций Математическое ожидание случайной функции на основании теоремы сложения математических ожиданий равно сумме математических ожиданий случайных функций

Корреляционная функция случайной функции представляет собой корреляционный момент ее значений при данных значениях которые могут независимо друг от друга принимать любые значения из области изменения аргумента случайных функций Заменяя в на получим:

При любых фиксированных значениях величины представляют собой суммы случайных величин. Следовательно, для определения их корреляционного момента можно применить формулу (20.20). Тогда, принимая во внимание, что корреляционный момент случайных величин представляет собой взаимную корреляционную функцию случайных функций получим для корреляционной функции случайной функции формулу

Сумма в этой формуле содержит слагаемые двух видов: корреляционные функции случайных функций и все возможные их взаимные

корреляционные функции. Таким образом, корреляционная функция суммы случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых плюс сумма всех взаимных корреляционных функций слагаемых.

В частном случае некоррелированных слагаемых все взаимные корреляционные функции равны нулю и формула (52.11) принимает более простой вид:

Таким образом, корреляционная функция суммы некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых.