§ 8. Плотность вероятности

Случайные величины, функции распределения которых непрерывны и дифференцируемы на всей числовой оси, называются непрерывными случайными величинами. Производная

функции распределения непрерывной случайной величины X называется плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения этой случайной величины. Для того чтобы выяснить происхождение термина плотность вероятности, представим формулу (8.1) в виде:

Отсюда на основании формулы (7.7) для непрерывной функции распределения получаем:

Величина представляет собой среднюю плотность вероятности на участке Предел ее при естественно назвать плотностью вероятности при данном значении х.

Из формулы (8.3) следует, что плотность вероятности не может быть отрицательной:

Пользуясь плотностью вероятности, можно переписать формулу (7.7) для вероятности попадания значения случайной величины в интервал в виде:

Полагая здесь получим выражение функции распределения через плотность вероятности:

Полагая и принимая во внимание второе равенство (7.8) получим:

Неравенство (8.4) и формула (8.7) являются основными свойствами плотности вероятности.

Пример 1. Плотность вероятности случайной величины X постоянна в интервале и равна нулю вне этого интервала:

Найти функцию распределения случайной величины Подставляя выражение (8.8) в (8.6), находим:

распределение вероятностей, определяемое формулами (8.8) и (8.9), обычно называется равномерным.

Пример 2. Вероятность отказа элемента, работающего в некоторой системе, в интервале времени при условии его исправной работы до момента равна где данная функция, которую в теории надежности принято называть средней интенсивностью выхода элемента из строя. Найти закон распределения срока службы элемента и вероятность отказа элемента в данном интервале времени предполагая, что до момента он исправно работал.

Пусть А — событие, заключающееся в том, что элемент исправно работает до момента — событие, представляющее собой отказ элемента в интервале времени Так как событие В может произойти только совместно с событием А, т. е. то на основании (4.5)

Обозначим через неизвестную функцию распределения момента отказа элемента. Тогда, пользуясь формулами (7.3) и (8.3), получим:

Подставляя эти выражения в (8.10) и принимая во внимание, что по условию получим:

Интегрируя это дифференциальное уравнение и учитывая, что следовательно, найдем функцию распределения момента отказа элемента или, что то же, его срока службы:

Дифференцируя эту формулу, найдем плотность вероятности срока службы элемента:

Для решения второй части задачи будем считать событием А в (8.10) исправную работу элемента до момента а событием В — отказ элемента в интервале времени Тогда, вычисляя и по формуле (7.7) и принимая во внимание (8.13), найдем: