§ 55. Предельная теорема для среднего значения случайной функции. Общая эргодическая теорема

Рассмотрим теперь среднее значение случайной функции X в области Т:

где произвольная функция веса,

Выражение (55.1) представляет собой частный случай формулы (54.1) при

Так как функция в данном случае не зависит от 5, то является случайной величиной, а не случайной функцией. Формулы (54.3) и (54.6) определяют ее математическое ожидание и дисперсию:

На основании определения дисперсии (20.1) и формул (55.1) и (55.4) формула (55.5) может быть написана в виде:

Из этой формулы вытекает следующая теорема: если среднее значение корреляционной функции по отношению к весу стремится к нулю при неограниченном расширении области то среднее значение центрированной случайной функции по отношению

к весу стремится в среднем квадратическом (а следовательно, и по вероятности) к нулю:

Это условие необходимо и достаточно.

Если, в частности, то формула (55.6) принимает вид:

Из этой формулы вытекает частный случай сформулированной выше теоремы: условие

необходимо и достаточно для того, чтобы среднее значение центрированной случайной функции по области стремилось в среднем квадратическом (а следовательно, и по вероятности) к нулю:

Доказанные теоремы являются аналогами теоремы Маркова для последовательности случайных величин, доказанной в § 37.

Если в частном случае математическое ожидание случайной функции постоянно, то формула (55.10) дает:

Эта формула выражает общую эргодическую теорему: если математическое ожидание случайной функции постоянно, а корреляционная функция удовлетворяет условию (55.9), то среднее значение случайной функции по области имеет пределом в среднем квадратическом математическое ожидание случайной функции, и наоборот, если предел в среднем квадратическом среднего значения случайной функции с постоянным математическим ожиданием по области равен математическому ожиданию случайной функции, то ее корреляционная функция удовлетворяет условию (55.9).

Легко видеть, что для выполнения условия (55.9) достаточно, чтобы корреляционная функция случайной функции X стремилась к нулю при неограниченном увеличении разности Мы докажем это для случайной функции скалярного аргумента По условию

где произвольно малая положительная величина при достаточно большом Возьмем и разобьем квадрат, по которому производится интегрирование в формуле (55.9), на три области прямыми В заштрихованной на рис. 25 области а в остальных двух областях следовательно, выполняется (55.12). Обозначая площадь заштрихованной на рис. 25 части квадрата через а суммарную площадь двух остальных частей квадрата через будем иметь:

где максимальное значение дисперсии случайной функции Но из рис. 25 следует, что

Рис. 25.

Следовательно, неравенство (55.13) может быть усилено и заменено неравенством

Из (55.14) и (55.16) следует, что

Отсюда ввиду произвольности следует, что среднее значение корреляционной функции по квадрату со стороной стремится к нулю при Таким образом, из условия (55.12) вытекает (55.9), что и требовалось доказать.

Проверка выполнения общего необходимого и достаточного условия (55.9) может быть весьма затруднительна. Поэтому возможность его замены простым достаточным условием (55.12) имеет большое практическое значение.