§ 98. Преобразование случайной функции случайным линейным интегральным оператором

В приложениях иногда приходится рассматривать преобразование случайных функций случайными операторами. Так, например, в совокупности одинаковых автоматических систем характеристики и значения параметров отдельных систем всегда будут несколько различаться вследствие допусков производства и неоднородности деталей, из которых эти системы собираются. Вследствие этого операторы однотипных систем всегда получаются в некоторых пределах различными. Оператор системы данного типа является случайным, если рассматривать всю совокупность систем данного типа. Оператор каждой конкретной системы данного типа является реализацией случайного оператора системы. При исследовании точности некоторой определенной системы данного типа необходимо определить оператор данной конкретной системы, после чего, применяя изложенную в предыдущих параграфах теорию, можно найти характеристики точности данной системы. При исследовании точности систем данного типа вообще, независимо от выбора конкретной системы, необходимо учесть разброс характеристик систем данного типа, т. е. случайность оператора системы.

Строго говоря, и характеристики конкретной автоматической системы данного типа могут изменяться в процессе работы системы, вследствие чего оператор данной конкретной системы оказывается несколько различным в различные периоды ее существования. Для учета разброса характеристик данной конкретной системы в различные периоды ее работы необходимо считать ее оператор случайным. Мы рассмотрим здесь преобразование случайной функции случайным оператором, ограничиваясь линейными интегральными операторами как наиболее важным для теории автоматического управления видом линейных операторов.

Рассмотрим случайную функцию определяемую равенством

где преобразуемая случайная функция, -случайная весовая функция линейного интегрального оператора. Будем считать случайные функции независимыми и предполагать заданными их математические ожидания и начальные моменты второго порядка На основании теоремы умножения математических ожиданий, справедливой для независимых случайных величин (§ 20), математическое ожидание случайной функции равно:

Далее, из (98.1) следует формула

Так как любые функции независимых случайных величин являются независимыми случайными величинами, то, применяя теорему умножения математических ожиданий, находим из (98.3):

Определив математическое ожидание и момент второго порядка случайной функции можно найти ее корреляционную функцию, пользуясь соотношением (50.7) между начальным моментом случайной функции и ее корреляционной функцией:

Подставляя в эту формулу выражения (98.2) и (98.4) и применяя соотношение (50.7) к случайным функциям получим для корреляционной функции случайной функции V формулу

Частный случай этой формулы, когда математические ожидания случайных функций тождественно равны нулю, был получен в работах Лоэва [95].

Перейдем теперь к случаю преобразования векторной случайной функции случайным линейным интегральным оператором. Рассмотрим векторную случайную функцию К, составляющие которой определяются формулой

где составляющие векторной случайной функции случайные весовые функции рассматриваемого случайного линейного интегрального оператора, которые можно считать составляющими -мерной векторной случайной функции Так же как и в случае преобразования скалярной случайной функции, будем считать векторные случайные функции независимыми и предполагать заданными их математические ожидания и моменты второго порядка

Применяя теорему умножения математических ожиданий, находим математическое ожидание векторной случайной функции У:

Для определения момента второго порядка векторной случайной функции У напишем вытекающую из (98.7) формулу:

На основании теоремы умножения математических ожиданий, момент второго порядка векторной случайной функции У определится формулой

Корреляционная функция векторной случайной функции У на основании соотношения между начальными и центральными моментами векторной случайной функции (69.14) определится формулой

Выведенные формулы могут служить для исследования точности линейных систем, характеристики которых подвержены случайным изменениям в процессе работы или при переходе от одной системы данного типа к другой.

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию выходной переменной линейной системы, поведение которой описывается уравнением

где случайная величина, плотность вероятности которой определяется формулами

Таким образом, случайная величина может принимать только положительные значения, и при малом отношении ее можно считать распределенной нормально.

Весовая функция рассматриваемой системы на основании (84.42) выражается формулой

Вследствие случайности величины весовая функция, определяемая формулой (98.14), является случайной функцией Пользуясь формулой

и принимая во внимание (11.8), находим математическое ожидание весовой функции

и ее момент второго порядка:

Подставляя выражения (98.15) и (98.16) в формулы (98.2) и (98.4), найдем математическое ожидание и момент второго порядка выходной переменной рассматриваемой системы:

После этого по формуле (98.5) найдем корреляционную функцию случайной функции У. При получим дисперсию случайной функции У.