§ 40. Доказательство теоремы Ляпунова

Мы приведем доказательство центральной предельной теоремы Ляпунова при условиях Линдеберга. При этом для сокращения выкладок мы будем считать, что математические ожидания всех случайных величин X равны нулю. Это, очевидно, не ограничивает общности, так как общий случай приводится к случаю нулевых математических ожиданий заменой случайных величин центрированными случайными величинами Теорема Ляпунова при условиях Линдеберга формулируется следующим образом: для того чтобы предельным законом распределения суммы независимых случайных величин имеющих равные нулю математические ожидания и конечные дисперсии , был нормальный закон и при этом было выполнено условие (39.5) равномерно относительно необходимо и достаточно, чтобы при любом было выполнено условие

Для доказательства воспользуемся методом характеристических функций. Обознлчим через характеристическую функцию случайной величины Xа через характеристическую функцию случайной величины определяемой формулой (39.3). Пользуясь формулами (25.11) и (25.5) и принимая во внимание, что математические ожидания случайных величин по условию равны нулю, получим:

Согласно определению (25.1) характеристической функции имеем:

Применяя формулу Тейлора, можем написать:

где не превосходит по модулю единицу при любом и при любом действительном значении . Заменяя показательную функцию в первом интеграле правой части равенства (40.3) выражением (40.4) при а во

втором интеграле — выражением (40.4) при получим:

где и не превосходят по модулю единицу. Принимая во внимание, что

и условившись везде обозначать буквой с различными индексами величины, не превосходящие по модулю единицу, можем переписать формулу (40.5) в виде:

Пусть теперь - любое число, большее единицы. На основании формулы (40.8) для любого действительного I в интервале можем написать:

Далее, при любом имеем:

откуда

Это неравенство показывает, что — равномерно относительно если выполнено условие (40.1). Из формулы (40.9) следует, что при этом равномерно относительно и X на любом конечном отрезке числовой оси Следовательно, при достаточно большом все величины будут меньше Но при

Полагая здесь будем иметь:

Подставляя в формулу (40.13) выражение (40.9), получим:

Подставляя это выражение в (40.2) и принимая во внимание (39.2), получим:

Отсюда ввиду произвольности заключаем, что при выполнении условия (40.1)

равномерно относительно X на любом конечном интервале

Сравнивая формулу (40.16) с (25.18), приходим к заключению, что при выполнении условия (40.1) характеристическая функция случайной величины определяемой формулой (39.3), стремится равномерно относительно X в любом конечном интервале к характеристической функции нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Таким образом, выполнение условия (40.1) влечет за собой стремление характеристической функции суммы случайных величин к характеристической функции нормального распределения, а также выполнение предельных равенств (39.5), ограничивающих удельный вес каждого отдельного слагаемого в сумме. Слекизателыю, условие (40.1) достаточно.

Для доказательства необходимости условия (40.1) предположим, что предельные равенства (39.5) выполнены равномерно относительно и что

Пользуясь формулой (40.4) при имеем:

где и не превосходят по модулю единицу. Из фоомулы (40.18) следует, что при равномерном относительно стремлении — к нулю величины стремятся к единице равномерно относительно Из формулы (40.18) с помощью второй формулы (39.2) выводится также неравенство

На основании (40.13) и (40.19) из (40.17) вытекает формула

которую на основании определения (25.1) характеристической функции можно написать в виде:

Но на основании второй формулы (39.2)

Следовательно, формулу (40.21) можно переписать в виде:

Отсюда, учитывая, что для всех действительных и, находим для действительной составляющей левой части формулы (40.23) неравенства:

справедливые при любом для всех достаточно больших Из (40.24) вытекает неравенство

Но из неравенства (35.5) Чебышева следует, что

Из (40.25) и (40.26), принимая во внимание, что оба слагаемых в левой части неравенства (40.25) положительны и, следовательно, каждое из них меньше правой части этого неравенства, выводим неравенство:

Так как это неравенство справедливо при всех действительных X, левая часть его не зависит от К, а правая часть при любом может бытэ сделана как угодно малой, если взять достаточно большое по абсолютной величине X, то из (40.27) следует (40.1). Таким образом, из (39.5) и (40.17) вытекает (40.1). Следовательно, условие (40.1) необходимо, что и требовалось доказать.

Мы доказали, что условие Линдеберга (40.1) необходимо и достаточно для того, чтобы характеристическая функция суммы независимых случайных величин стремилась к характеристической функции нормального распределения при неограниченном увеличении числа слагаемых. Для полноты

доказательства центральной предельной теоремы следует, строго говоря, доказать еще, что при этом функция распределения суммы стремится к нормальной функции распределения. Обозначая функцию распределения случайной величины определяемой формулой (39.3), через можем На основании (11.10), (25.18) и (26.16) написать:

Так как характеристические функции равномерно ограничены по модулю единицей при действительных и интеграл в правой части формулы (40.28) сходится абсолютно, то при любом существует такое не зависящее от что этот интеграл отличается от такого же интеграла, взятого в пределах ), меньше чем на Следовательно, полагая

получим:

По доказанному выше при любом стремится к нулю при если выполнено условие (40.1). Величина может быть выбрана сколь угодно малой. Поэтому из неравенства (40.30) следует, что при любых конечных имеет место равенство

Отсюда следует, что функция распределения при любом конечном стремится к нормальной функции распределения

Действительно, допустим, что существует такая точка и такое что при любом

Определим величины равенствами:

Тогда при любом будут иметь место неравенства:

Вычитая неравенство (40.35) из (40.36) и принимая во внимание (40.34) и (40.33), получим:

Положим:

Тогда неравенство (40.37) будет справедливо при любом в интервале и мы получим:

Таким образом, если неравенство (40.33) выполнено для некоторых при любом то существуют такие а, , что при любом выполняется неравенство (40.39). Но это противоречит доказанному равенству (40.31). Следовательно, неравенство (40.33) не может выполняться при всех ни для каких Точно так же доказывается, что ни при каких не может при всех выполняться неравенство

Следовательно, из (40.31) вытекает (40.32), и теорема полностью доказана.