Прямая и обратная решетки.

При соблюдении определенных условий кристаллы растут в виде правильных многогранников. Плоскости, ограничивающие кристалл, называются его гранями, линии, разделяющие грани, — ребрами, а узловые точки, в которых пересекаются несколько граней, — вершинами. Из рентгеноструктурного анализа и из многих других опытов следует, что атомы и молекулы располагаются в кристалле строго закономерно в определенном порядке. При этом существует некоторая элементарная ячейка, с помощью которой путем многократного повторения можно сложить весь кристалл. Следовательно, физические свойства идеального кристалла периодически повторяются. Только благодаря периодической структуре кристаллов оказалось практически возможным создание теории твердого тела, состоящего из огромного количества частиц.

В теории для описания физических свойств кристаллов вводится понятие прямой и обратной решетки. Под прямой решеткой понимают совокупность точек, радиусы-векторы которых равны [10]

где три не лежащих в одной плоскости (некомпло-нарных) вектора, называемых трансляционными, масштабными или основными (базисными) векторами, или трансляционными периодами кристаллической решетки; целые положительные и отрицательные числа. При смещении всего кристалла как целого на любой из этих векторов он совмещается сам с собою.

Очевидно, при перемещении кристалла на любой из векторов он также будет совмещаться сам с собой. Поэтому вектор называется вектором трансляции.

Параллелепипед, построенный на базисных векторах, имеет объем, равный и называется элементарной ячейкой. Перемещая (транслируя) элементарую ячейку в направлениях можно заполнить все пространство. В этом и заключается трансляционная симметрия кристаллов.

Решетка, определенная формулой (1.1), является чисто геометрическим построением, ее узлами служат математические точки. Каждому узлу соответствует один или целая группа атомов. Из трансляционной симметрии кристалла следует, что если около начала координат расположены какие-то атомы, то точно такие же атомы находятся около любого другого узла решетки.

Выбор решетки неоднозначен. Для одного и того же кристалла можно выбрать различными способами тройку базисных векторов а. Пусть, например, атомы в кристалле располагаются в вершинах и в центре куба. Тогда, помещая начало координат в вершине куба, векторы а? молено выбрать вдоль осей х, у, z. Элементарная ячейка будет иметь форму куба (рис. 1, а). Если же начало координат поместить в центре куба, а векторы направить к его вершинам, то элементарная ячейка будет иметь форму ромбоэдрического параллелепипеда. Более того, элементарная ячейка может быть построена не на векторах совершенно иным способом, в частности в виде ячейки Вигнера — Зейтца.

Соединим центр куба с его вершинами 8 отрезками. Через середину каждого отрезка проведем перпендикулярные к ним плоскости. Восемь таких плоскостей и ограничивают пространственную фигуру, называемую элементарной ячейкой Вигнера—Зейтца (рис. 1, в). Все пространство может быть заполнено такими ячейками, причем они обладают теми же элементами симметрии, что и куб. Ячейка Вигнера — Зейтца применяется для построения прямых решеток, однако она приобретает исключительно важное значение в пространстве обратной решетки, где она совпадает по существу с зоной Бриллюэна.

Как будет видно из дальнейшего, волновые функции, описывающие движение электрона в кристалле, отражают не

Рис. 1. Элементарные ячейки для кубического кристалла с одним атомом в центре куба: а — кубическая; б - ромбоэдрическая; в — ячейка, Вигнера-Зейтца

только симметрию прямой решетки, но и свойства обратной решетки. Именно в пространстве обратной решетки задается и исследуется волновой вектор электрона к. Поэтому изучение обратной решетки служит отправной точкой в теории твердого тела.

Вектор трансляции обратной решетки равен

где целые числа; базисные векторы обратной решетки.

Векторы имеют размерность обратной длины и связаны с базисными векторами прямой решетки соотношениями

где по-прежнему объем элементарной ячейки прямой решетки, равный С помощью (1.3) легко убедиться, что удовлетворяют соотношению

Здесь символ Кронекера, равный 1, если и нулю при

Параллелепипед, построенный на векторах образует элементарную ячейку обратной решетки. Ее объем равен обратно пропорционален объему элементарной ячейки прямой решетки.

Согласно (1.3), любой из трех базисных векторов обратной решетки с индексом перпендикулярен к двум основным векторам прямой решетки с индексами, отличными от Еслиаг образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов, то тоже будут взаимно - перпендикулярны, причем В рлучае кубической решетки

Если же элементарная ячейка прямой решетки является параллелепипедом произвольной формы, то для нахождения обратной решетки удобно векторы а рассматривать в некоторой прямоугольной системе координат. Тогда 9 проекций векторов можно представить в виде матрицы А, а числа и — как вектор-столбец Положение узлов решетки будет определяться вектором трансляции, равным произведению матрицы на вектор [10]

Вводя аналогичным образом матрицу В обратной решетки, имеем

На основании (1.4) приходим к равенству

где единичная матрица, все элементы которой равны 1. Для нахождения компонент матрицы В равенство (1.7) можно представить в виде системы 9 уравнений

Матрицы полностью определяют прямую и обратную решетки. В случае простой кубической решетки они имеют вид:

Таблица 1 (см. скан) Сингонии кристаллов