Индексы Миллера.
Для задания ориентации плоскостей и направлений в кристаллах, проходящих через узлы решетки, широко используются индексы Миллера. Они вводятся следующим образом. Пусть кристалл находится в системе координат, начало которой расположено в точке 0, а оси параллельны ребрам кристалла. Ориентация любой плоскости в кристалле
Рис. 2. Решетка типа алмаза: a - расположение атомов в пространстве, темные кружки указывают положение смещенной гранецентрированной решетки; б - проекция атомов на грань куба, числа указывают относительное положение атомов в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка
Рис. 3. Индексы Миллера для направлений и плоскостей в кубическом кристалле
будет однозначно определена, если задать положения трех точек, лежащих на этой плоскости. В качестве таких точек выберем точки пересечения плоскости с осями координат
Длину отрезков, отсекаемых плоскостью по осям
можно выразить безразмерными числами
если выбрать в качестве единиц измерений длины базисных векторов
так что
Отношение обратных величин
выраженное в наименьших целых числах
и записанное в круглых скобках, и называется индексами Миллера, или символом данной плоскости.
Пусть, например,
Тогда
1. Плоскость характеризуется индексами (421). Если плоскость не пересекает какую-либо ось координат, то
а соответствующий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость отсекает отрицательный отрезок оси, то над индексом Миллера ставится знак минус. Так, грани кубического кристалла имеют индексы: передняя - (010), задняя —
правая — (100), левая — (100), верхняя — (001), нижняя - (001).
В силу симметрии кристалла в нем могут быть различно ориентированные, но физически эквивалентные плоскости, как например 6 граней куба. Совокупность таких плоскостей обозначается тремя индексами в фигурных скобках
При таком выборе системы координат и единиц измерения отрезков координаты любой грани кристалла относятся как целые числа (закон рациональных отношений).
Направление вектора в кристалле указывается тремя индексами в квадратных скобках
где
три наименьших числа, отношение которых равно отношению длин проекций вектора на оси координат, выраженных в величинах
Оси
имеют индексы [100],
[001]. В кубическом кристалле (рис. 3) направление
перпендикулярно к плоскости
Совокупность эквивалентных направлений обозначается символом
Легко показать, что вектор обратной решетки
перпендикулярен к плоскости с индексами
если только
Для этой цели достаточно доказать, что вектор
параллельный
перпендикулярен к двум непараллельным векторам, лежащим в плоскости
Поскольку концы векторов
лежат на плоскости
то в качестве векторов на плоскости могут быть выбраны разности
или
Скалярное произведение векторов равно
где учтены равенства (1.3) и независимость смешанного векторно-скалярного произведения от круговой перестановки векторов. Аналогичным образом можно убедиться, что
Следовательно,
действительно перпендикулярен к плоскости
Необходимо отметить, что символ
относится не к одной плоскости, а к семейству параллельных плоскостей. Самая близкая к началу координат плоскость отсекает от базисов векторы
следующие плоскости отсекают векторы
Расстояние между соседними плоскостями семейства
равно
где
единичный вектор, перпендикулярный к плоскости
Иногда для описания ориентации плоскостей гексагональных кристаллов вводятся не три, а четыре оси координат [11, 15]. Три оси лежат в плоскости, перпендикулярной длинному ребру кристалла, а четвертая параллельна ему. Углы между осями, лежащими в одной плоскости, равны 120°, поэтому первые три координаты связаны соотношением
В этом случае индексы Миллера вводятся по общему правилу:
но их будет уже не три, а четыре. Например, для шести боковых граней имеем: