Индексы Миллера.

Для задания ориентации плоскостей и направлений в кристаллах, проходящих через узлы решетки, широко используются индексы Миллера. Они вводятся следующим образом. Пусть кристалл находится в системе координат, начало которой расположено в точке 0, а оси параллельны ребрам кристалла. Ориентация любой плоскости в кристалле

Рис. 2. Решетка типа алмаза: a - расположение атомов в пространстве, темные кружки указывают положение смещенной гранецентрированной решетки; б - проекция атомов на грань куба, числа указывают относительное положение атомов в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка

Рис. 3. Индексы Миллера для направлений и плоскостей в кубическом кристалле

будет однозначно определена, если задать положения трех точек, лежащих на этой плоскости. В качестве таких точек выберем точки пересечения плоскости с осями координат Длину отрезков, отсекаемых плоскостью по осям можно выразить безразмерными числами если выбрать в качестве единиц измерений длины базисных векторов так что Отношение обратных величин выраженное в наименьших целых числах и записанное в круглых скобках, и называется индексами Миллера, или символом данной плоскости.

Пусть, например, Тогда

1. Плоскость характеризуется индексами (421). Если плоскость не пересекает какую-либо ось координат, то а соответствующий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость отсекает отрицательный отрезок оси, то над индексом Миллера ставится знак минус. Так, грани кубического кристалла имеют индексы: передняя - (010), задняя — правая — (100), левая — (100), верхняя — (001), нижняя - (001).

В силу симметрии кристалла в нем могут быть различно ориентированные, но физически эквивалентные плоскости, как например 6 граней куба. Совокупность таких плоскостей обозначается тремя индексами в фигурных скобках

При таком выборе системы координат и единиц измерения отрезков координаты любой грани кристалла относятся как целые числа (закон рациональных отношений).

Направление вектора в кристалле указывается тремя индексами в квадратных скобках где три наименьших числа, отношение которых равно отношению длин проекций вектора на оси координат, выраженных в величинах Оси имеют индексы [100], [001]. В кубическом кристалле (рис. 3) направление перпендикулярно к плоскости Совокупность эквивалентных направлений обозначается символом

Легко показать, что вектор обратной решетки перпендикулярен к плоскости с индексами

если только Для этой цели достаточно доказать, что вектор параллельный перпендикулярен к двум непараллельным векторам, лежащим в плоскости Поскольку концы векторов лежат на плоскости то в качестве векторов на плоскости могут быть выбраны разности или

Скалярное произведение векторов равно

где учтены равенства (1.3) и независимость смешанного векторно-скалярного произведения от круговой перестановки векторов. Аналогичным образом можно убедиться, что Следовательно, действительно перпендикулярен к плоскости Необходимо отметить, что символ относится не к одной плоскости, а к семейству параллельных плоскостей. Самая близкая к началу координат плоскость отсекает от базисов векторы следующие плоскости отсекают векторы Расстояние между соседними плоскостями семейства равно

где единичный вектор, перпендикулярный к плоскости

Иногда для описания ориентации плоскостей гексагональных кристаллов вводятся не три, а четыре оси координат [11, 15]. Три оси лежат в плоскости, перпендикулярной длинному ребру кристалла, а четвертая параллельна ему. Углы между осями, лежащими в одной плоскости, равны 120°, поэтому первые три координаты связаны соотношением В этом случае индексы Миллера вводятся по общему правилу: но их будет уже не три, а четыре. Например, для шести боковых граней имеем: