ГЛАВА XIX. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Система уравнении несжимаемой вязкой жидкости, полученная ранее, имеет вид

Отыскание точных решений этой системы существенно труднее, чем для идеальной жидкости. Почти все точные решения в каком-то смысле получены для одномерных течений.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОТЫСКАНИИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Будем считать течение одномерным, если скорости параллельны некоторому направлению в пространстве; при этом в точках плоскости, перпендикулярной этому направлению, гидродинамические величины могут принимать различные значения. Выберем направление движения за направление оси . Тогда

Выпишем систему уравнений вязкой жидкости, учитывая (1.1):

Из (1.2) следует, что не зависит от из -что р не зависит от у и z, т. е.

Учитывая (1.5), перепишем уравнение (1.3) следующим образом:

Левая часть (1.7) не зависит от х, следовательно, может зависеть только от времени:

Таким образом, в одномерном движении давление является линейной функцией Функции могут быть найдены, если в двух сечениях задано давление р, а именно

Тогда

При заданном перепаде давлений скорость отыскивается из уравнения (1.7):

Уравнение (1.10) по виду совпадает с хорошо изученным уравнением теплопроводности. Неоднородное уравнение (1.10) может быть сведено к однородному заменой

Для отыскания решения уравнения (1.10) должны быть заданы начальные и граничные условия. Одномерные движения могут осуществляться при течении жидкости в цилиндрических трубах (или вне их). Поэтому граничные условия записываются на контурах получаемых сечением цилиндра плоскостью :

Здесь - скорость точек контура. Начальные условия имеют вид

Задача упрощается, если течение установившееся. В этом случае перепад давлений постоянен, и уравнение (1.10) сводится к уравнению Пуассона

Начальные условия отпадают, а граничные условия не зависят от времени:

В самом общем случае скорость может зависеть от точек контура .

Особый случай одномерного течения представляет безнапорное движение жидкости, когда . При этом вместо (1.10) имеем уравнение

Если движение установившееся, то скорость находится как решение уравнения Лапласа

удовлетворяющее граничным условиям (1.14).

Заметим, что задача (1.16), (1.14) ( постоянны на контурах эквивалентна задаче об отыскании функции тока в плоских течениях идеальной несжимаемой жидкости

Отсюда следует, в частности, что для решения задачи (1.16), (1.14) можно использовать метод конформных отображений. Нетрудно показать, что сила действующая на контур в вязкой жидкости, выражается через циркуляцию Г соответствующего течения идеальной жидкости. Действительно,