§ 2. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Пусть сфера обтекается установившимся потоком, скорость которого V на бесконечности направлена параллельно оси . Чтобы решить задачу об обтекании сферы при малых числах нужно найти решение системы (1.8), удовлетворяющее граничным условиям:

или

на бесконечности:

Вообще говоря, решение можно получить разными способами. Наиболее естественным является следующий ход решения задачи. Вводят сферические координаты и записывают систему уравнений и граничные условия для и . Из условий симметрии следует, что

Решение задачи отыскивают в виде

Подставляя (2.3) в (1.8), получают для неизвестных функций систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрируя эту систему уравнений и учитывая граничные условия, находят функции а следовательно, и решение (2.3). Это решение (мы его выпишем для ) будет иметь вид

где . Можно доказать, что функции (2.4) — единственное решение задачи.

Имея распределение давления и скоростей около сферы, можно вычислить силу сопротивления , а следовательно, и коэффициент сопротивления сферы. Главный вектор сил

Формула Коши для для точек поверхности сферы может быть записана в виде

Соответственно проекции вектора R

Компоненты тензора напряжений могут быть вычислены с использованием решения (2.4) по известным формулам

Подставляя (2.6) в (2.5), после вычисления получим ,

Формула -известная формула Стокса для сопротивления сферы при малых числах . Сила сопротивления сферы пропорциональна вязкости радиусу сферы а, скорости V. Коэффициент сопротивления сферы при малых числах

(При больших имеем пограничный слой, при еще больших с хорошей точностью постоянен.) Решение (2.4) и формулы (2.7), (2.8) хорошо подтверждаются экспериментом до чисел (решение получено в предположении ) Формула Стокса имеет большое применение.