§ 4. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Для получения уравнения неразрывности в произвольных криволинейных ортогональных координатах поступим следующим образом. Пусть криволинейные ортогональные координаты и пусть связь между и декартовыми координатами х, у, z задается соотношениями

Рассмотрим криволинейный параллелепипед, образованный координатными поверхностями (рис. 5):

(4.2)

Ребра этого параллелепипеда есть элементы дуг, соответствующие приращению координат :

Здесь — коэффициенты Ламе:

Объем параллелепипеда в предположении ортогональности координат будет равен

Для того чтобы записать закон сохранения массы, подсчитаем изменение массы за время внутри элементарного параллелепипеда двумя способами.

1. В момент времени t масса жидкости в объеме dx равна

В момент времени масса жидкости в том же объеме dx будет

Изменение массы в объеме dx за время dt

Рис. 5.

Из равенства (4.6) следует

2. Изменение массы в рассматриваемом объеме за время может быть связано с тем, что есть источники, распределенные в пространстве, и что количество жидкости, которое втекло в объем не равно количеству жидкости, которое вытекло из этого объема.

Введем обозначения:

— изменение массы в объеме за счет источников;

— изменение массы в объеме за счет того, что через грань могло вытечь не такое количество жидкости, которое втекло через грань ;

— изменение массы за счет протекания через грани и ;

— изменение массы за счет протекания через грани и .

Общее изменение массы

По определению величины q имеем

Подсчитаем . Для этого обозначим через проекции скорости жидкости на оси . Через грань в объем за поступает масса жидкости

Через грань то же время вытекает масса жидкости

Интересующая нас величина

Аналогично получим

Общее изменение массы получим, подставив (4.9) — (4.12) в (4.8):

Сравнивая два выражения (4.7) и (4.13) для , получаем уравнение неразрывности в криволинейных координатах

Рассмотрим частные случаи.

а) Декартовы координаты х, у, z. Здесь

Уравнение (4.14) примет вид

б) Цилиндрические координаты . Здесь

Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами имеет вид

Коэффициенты Ламе, вычисленные по формулам (4.4):

Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах запишется в виде

в) Сферические координаты . В этом случае

Коэффициенты Ламе . Уравнение (4.14) в сферических координатах примет вид

Обратимся к общему уравнению (4.14). Будем дифференцировать произведения, отделяя множители, содержащие р, и разделим затем все члены на . Получим

Рассмотрим первые четыре слагаемых и учтем при этом (4.3)

Подставляя (4.19) в (4.18), получим уравнение неразрывности в виде

Сравнивая уравнение (4.20) с уравнением неразрывности, записанным в инвариантной форме (2.6), заметим, что в криволинейных координатах