Построение переходных процессов.

Нахождение переходной функции или функции веса нестационарной системы, являющейся ее исчерпывающей характеристикой, обычно сопряжено с большими трудностями. Существующие методы позволяют решать задачу нахождения весовой функции только в численном виде. Однако для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную нестационарную систему приближенно сводить к более простой, которая описывается уравнением не выше второго порядка. Большинство нестационарных систем относится к так называемым квазистационарным системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В таких системах коэффициенты дифференциального уравнения мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет аналитическое решение:

где — постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями.

Пример 4.1. Пусть имеется уравнение

Определяем для него семейство переходных характеристик

Для единичной ступенчатой функции уравнение (4.8) можно записать в виде

Приведем (4.9) к виду (4.8):

При этом получаем

Учитывая, что получим

При нулевых начальных условиях (для ) должно выполняться равенство Определяем постоянную интегрирования

Окончательно

Дифференцируя выражение (4.10) по получим функцию веса или

или

Для уравнения (4.8) весовую функцию можно найти сразу из общего решения, если на вход подать единичный смещенный импульс Проделав необходимые выкладки, получим

Запишем дифференциальное уравнение в более общем виде

и приведем его к виду (4.8)

Если входной сигнал представляет собой единичный импульс, приложенный в момент времени т. е. то решение при нулевых начальных условиях будет соответствовать весовой

Рассмотрим опять в качестве примера уравнение (4.8). Приведем его к виду

Тогда

также функция веса

что совпадает с выражением (4.11).

В большинстве случаев при исследовании нестационарных систем прибегают к численным или графическим методам [11, 34].