8.3. Теория Бете

8.3.1. Дисперсионные уравнения

Уравнение Шредингера (1.5) можно записать в форме

где мы положили

Здесь К — волновое число или модуль К, волнового вектора падающей волны в вакууме, и

Мы несколько отошли от нашей предыдущей договоренности относительно системы обозначений с тем, чтобы она соответствовала обозначениям, введенным Бете и ставшим общепринятыми для этого типа динамической теории.

Если мы теперь выполним преобразование Фурье уравнения (8.1), то преобразование уедает член где k — волновой вектор волны в кристалле, поэтому мы получим

Если распределение потенциала является периодическим, то фурье-преобразование будет даваться формулой

где вектор обратной решетки.

Согласно теореме Блоха, волновое поле в кристалле должно иметь периодичность решетки, а функция должна, следовательно, иметь вид

где волновой вектор соответствующий точке обратной решетки, определяется как

а волновой вектор, соответствующий началу обратной решетки. Тогда, подставив (8.3) в (8.2), мы получим соотношение между волновыми числами и волновыми амплитудами или для ряда дифрагированных волн в кристалле;

где штрих у суммы означает, что опущен член с а именно включен в коэффициенты при в первом члене. Это и есть фундаментальное уравнение для волн в кристалле, отвечающее обратному пространству, известное также как дисперсионное уравнение, так как оно связывает волновые числа или импульсы волн с их энергиями.

Мы можем в дальнейшем упростить систему обозначений, положив Здесь это волновой вектор, отвечающий падающей волне с волновым вектором после того как она прошла из вакуума в среду с постоянным потенциалом равным среднему потенциалу кристаллической решетки.

Среднее значение показателя преломления для электронов в кристалле дается формулой

или

Если мы, учтя все наши оговорки и ограничения, наложенные на использование понятия поглощения электронов в кристалле, введем поглощение феноменологическим путем, сделав комплексным, то комплексными будут и показатель преломления и волновое число Аналогично будут комплексными и все коэффициенты и волновые векторы Чтобы учесть это обстоятельство, расширим наши определения.

Уравнение (8.5) можно записать в матричной форме следующим образом:

где для удобства мы записали как В отсутствие поглощения матрица эрмитова, потому что для действительного потенциала Если кристалл имеет центр симметрии, то матрица будет действительной симметрической, так как Когда имеется поглощение, к диагональным элементам необходимо прибавить величину а к недиагональным — величину

8.3.2. Решение уравнений

Чтобы получить волновые векторы и коэффициенты Фурье волновых функций для волн в кристалле, нужно решить систему нелинейных уравнений (8.5) или матричное уравнение (8.7), с учетом граничных условий. Пока на число точек обратной решетки никаких ограничений нет, в принципе будет существовать бесконечное число решений, а также соответственно бесконечное число волновых векторов и амплитуд отвечающих каждой точке обратной решетки. Можно сказать иначе: решению будет отвечать набор волновых векторов и набор амплитуд соответствующих каждой точке обратной решетки. Эти наборы, как известно, определяют блоковскую волну с номером Она представляет собой одно из решений, описывающее волну в кристалле, которая, согласно теореме Блоха, должна иметь вид

где дается выражением (8.4).

8.3.3. Граничные условия

Для кристалла, ограниченного плоской поверхностью, граничные условия означают равенство тангенциальных составляющих волновых векторов по обе стороны границы. Если на кристалл падает плоская волна с волновым вектором то проекции на граничную поверхность вектора и вектора х падающей волны в кристалле должны быть одинаковы. Это есть точно закон преломления света, или закон Снеллиуса. Следовательно, мы можем начертить диаграмму (фиг. 8.1), которая является

Фиг. 8.1. Схема, иллюстрирующая волновые векторы волн, возникающих в кристалле, когда на его поверхность падает волна с вектором . Показана ошибки возбуждения для точек решетки и аккомодация точка Лауз и волновые векторы для одной блоховской волны.

изображением обратного пространства вместе с границей кристалла (реальное пространство), показанной для того, чтобы определить нормали к поверхности для применения граничных условий. Вектор х выходит из точки точки Лауэ, в начало обратной решетки О, так что его проекция на поверхность совпадает с проекцией К. Решение дисперсионных уравнений в виде блоховской волны дает набор векторов Мы проводим эти векторы в точки обратной решетки из некой точки которая расположена на одной нормали к поверхности с точкой Лауэ и отстоит от этой точки на расстояние — аккомодацию, — учитывающее преломление. Диаграмма нарисована для случая электронных волн с В случае рентгеновских лучей Ко больше

Если начертить сферу Эвальда с центром в точке и радиусом то она пройдет мимо точек обратной решетки на расстоянии ошибки возбуждения, — измеренном вдоль радиуса сферы. Так как в общем случае аккомодация очень мала по сравнению с волновые векторы будут почти параллельны соответствующим радиусам сферы Эвальда, и мы сможем написать

где угол с нормалью к поверхности.

Из уравнений (8.5) или (8.7) ясно, что решения будут давать в виде функций величины волнового вектора падающей волны в кристалле — и коэффициентов Фурье потенциала

Фиг. 8.2. Дисперсионная поверхность для волн в кристалле, соответствующая набору точек обратной решетки а — кинематический случай слабого взаимодействия; б - динамическое рассеяние со значн тельными взаимодействиями.

Следовательно, мы видим из (8.9), что зависит как от параметров падающего пучка, так и от но зависимость от будет ослабевать по мере того, как диагональные члены в (8.7) будут увеличиваться. Когда направление падения пучка меняется и нормаль к поверхности, проведенная через меняет свое положение относительно точки на фиг. 8.1, геометрическим местом точек будет сфера радиусом х с центром в точке 0. Каждая точка будет описывать поверхность, называемую листом, или (в двухволновом случае) ветвью дисперсионной поверхности.

Некоторое представление об этой многолистной дисперсионной поверхности можно получить, рассматривая предельный случай уравнения (8.5) или (8.7), устремив в них к нулю все Тогда решением дисперсионного уравнения является для всех т. е. дисперсионная поверхность представляет собой набор сфер с центрами в каждой точке обратной решетки, как показано на фиг. 8.2, а. По мере того как недиагональные элементы матрицы будут увеличиваться от нуля, точки или линии пересечения этих сфер будут видоизменяться, приводя к системе непересекающихся поверхностей, или ветвей дисперсионной поверхности, как показано в очень простом случае на фиг. 8.2, б для небольшой части поверхности. На каждой ветви дисперсионной поверхности нормаль к поверхности будет иметь две точки пересечения, так что если рассматриваются точек обратной решетки, то будут существовать пересечений и, следовательно, блоховских волн. Из них будут соответствовать рассеянию вперед и рассеянию назад. Некоторые сложности возникают, в частности, для больших длин волн, т. е. для сфер Эвальда малого радиуса, когда дисперсионная поверхность пересекается с нормалью только в мнимых точках.

В общем -волновом случае форму дисперсионной поверхности изобразить трудно, и на самом деле решение уравнений (8.5) или

(8.7) нельзя получить в общем виде, а только при упрощающих предположениях, выбранных в соответствии с разумными приближениями к определенным экспериментальным условиям.