7.3. Отклонения от усредненной решетки

7.3.1. Распределенные вакансии: отсутствие релаксации

В качестве первого простого примера рассмотрим одноатомный кристалл с простой структурой. Пусть имеются атомных положений, из которых положений, распределенных случайным образом, не заняты. При этом пренебрегаем любыми смещениями атомов из их равновесных положений в решетке (релаксация).

Тогда рассеивающую способность можно оценить из уравнения (7.2) путем последовательного рассмотрения различных возможных векторов

Для будет векторов, для которых векторов, для которых так что вклад в рассеяние будет составлять

Для любой другой длины вектора вероятность обнаружить атом в точке будет равна а в точке она будет равна так что вклад в составит

Тогда

В этом выражении мы устранили ограничение при суммировании путем добавления и вычитания нулевого члена. Для получаем

Первый член (7.15) представляет рассеивающую способность для полностью упорядоченной решетки без дефектов, но со средней амплитудой атомного рассеяния, уменьшенной в отношении

Фиг. 7.1. Одномерные диаграммы. а — распределение электронной плотности для структуры с произвольно распределенными вакансиями; б - для периодической усредненной структуры в — отклонение от усредненной структуры; г - функция Паттерсона для этой функции отклонения; д - распределение рассеивающей способности в обратном пространстве, обнаруживающее резкие пики на фоне диффузного рассеяния.

Второй член описывает непрерывное распределение рассеивающей способности в обратном пространстве, он спадает как с ростом а величина .его пропорциональна числу дефектов (если Это равносильно рассеянию от независимых изолированных атомов.

С другой стороны, можно исходить из формулировок, представленных уравнениями (7.7), (7.9) и (7.10). Усредненная структура будет периодической функцией уменьшенной в каждой точке решетки в раз. В результате распределение будет таким же, как для кристалла в отсутствие вакансий, но вес каждого острого пика в узле обратной решетки уменьшается в раз. Отклонение от усредненной решетки будет составлять для каждого положения, где есть вакансия, и для каждого положения, где вакансии нет, как показано на фиг. 7.1. Начальный пик Паттерсона будет

Для любых других пиков Паттерсона будет иметь место вкладов с весом

если в качестве начала координат брать вакантные положения, и вкладов с весом

когда за начало координат берется атом. В каждом случае выражение в фигурных скобках, представляющее случайный весовой множитель высоты пика в соответствии с его занятостью, равно нулю.

Следовательно, для дефектной решетки функция Паттерсона состоит лишь из начального пика. Общее распределение рассеивающей способности изменяется тогда в раз по сравнению с распределением для кристалла без вакансий плюс [в соответствии с формулой (7.16)]

как в уравнении (7.15).