5.5.2. Частные случаи

Несколько частных случаев взяты для иллюстрации свойств и соотношений функции Для точки имеем

Интеграл по дает вероятность того, что если имеется атом в точке в момент времени 0, то в точке будет находиться атом и в момент времени эта вероятность усреднена по всем точкам Выражение (5.27) дает указания, относящиеся к скорости диффузии атомов из их начальных положений.

Для чисто упругого рассеяния частота падающего излучения не меняется, так что Тогда интересующая нас функция в обратном пространстве имеет вид

Следовательно, сечение четырехмерного распределения в обратном пространстве, соответствует фурье-преобразованию усредненной во времени четырехмерной функции Паттерсона.

Если проводятся измерения, при которых интенсивности рассеянного излучения для всех энергий складываются вместе, то интересующая нас функция обратного пространства имеет вид

Следовательно, полная рассеянная интенсивность (для упругого и неупругого рассеяния) связана с что дает корреляции атомных положений независимо от времени, т. е. соответствует сумме всех корреляционных функций для мгновенных «картин» атомной конфигурации.

Выражения, подобные (5.28), в такой форме, однако, неудовлетворительны, поскольку они приводят к бесконечности. Если относится к системе, которая постоянна или периодически повторяется во времени, то интеграл будет бесконечным. Такой неудовлетворительный результат является следствием что мы не описали экспериментальную систему адекватно.

Интенсивности всегда измеряют с помощью приборов с конечным разрешением. Конечное энергетическое разрешение можно учесть, заменив например, на величину

где мера интервала используемых частот. Тогда фурье-преобразование такой функции имеет вид

В таком случае измерение интенсивностей для всех значений отвечает пределу что с помощью фурье-преобразования приводит к

В другом пределе, когда мы возвращаемся к идеальному случаю измерения и получаем с помощью фурье-преобразования.

При измерениях в случае почти упругого рассеяния необходимо отобрать небольшой интервал частот вблизи начала координат:

Фурье-преобразование этого выражения имеет вид

В предельном случае соответствующем чисто упругому рассеянию, этот интеграл стремится к т.е. к среднему по времени от поскольку свертывается с функцией, полуширина максимума которой стремится к бесконечности, а интегральное значение всегда равно единице.

В последующем мы не станем усложнять математический аппарат этими более сложными формулировками, однако будем иметь в виду, что этим путем можно обойти трудности, возникающие из-за использования весьма упрощенных выражений.