2.2.2. Сложение двух когерентных волн

Обобщим теперь предыдущее рассмотрение на случай, который является более реальным, т. е. экспериментально реализуемым. Для этого скажем несколько слов о том, как распространяется свет. Оптическое поле распространяется в соответствии с волновым уравнением

где вторая частная производная по пространственным координатам, а с — скорость света. В случае когерентного света можно воспользоваться выражением (4); подставляя его в уравнение (17а), мы получим волновое уравнение (уравнение Гельмгольца), описывающее распространение комплексной амплитуды:

где длина волны света. Существенную роль играют следующие решения этого волнового уравнения:

1) плоская волна, распространяющаяся вдоль оси

где А — постоянная;

2) сходящаяся (отрицательная экспонента) и расходящаяся (положительная экспонента) сферические волны

где радиус сферической волны.

Идеальный точечный источник излучает расходящуюся сферическую волну; расположенный на бесконечности, он будет давать плоскую волну. В качестве первого примера рассмотрим сложение двух плоских волн.

2.2.2.1. Сложение двух плоских волн

Мы будем рассматривать два идеальных точечных источника одинаковой интенсивности, расположенных на бесконечности и создающих две плоские волны, сходящиеся под углом 20 друг к другу. Иными словами, два плоских волновых фронта образуют углы ±0 относительно плоскости, в которой мы будем записывать интенсивность, создаваемую в результате их взаимодействия (рис. 1).

Рис. 1. Сложение двух плоских волн, расположенных симметрично относительно оптической оси.

Будем предполагать, что в точке обе эти волны имеют одинаковые фазы. Тогда результирующая комплексная амплитуда запишется в виде [см. выражение (14)]

а интенсивность если угол мал дается выражением

где — постоянная интенсивность, связанная с каждой отдельной плоской волной. Наконец, заметим, что

Для голографических исследований выражение (21) полезно записать в виде выражения (15):

Если делается фотографическая запись интенсивности и затем негатив освещается когерентной волной то второй и третий члены выражения (23) воссоздадут первоначальную и сопряженную ей волну.

В соответствии с (22) результирующая интенсивность представляет собой серию интерференционных полос с профилем в виде квадрата косинуса, что иллюстрируется на рис. 2, б. Естественно, что в случае, когда две волны некогерентны, складываются их интенсивности, что и дает результирующую интенсивность, равную 21 (рис. 2, а). Наконец, рис. 2, в иллюстрирует частично-когерентное сложение двух пучков (см. разд. 2.3.2, в котором обсуждается этот результат).

Рис. 2. Суммарная нормализованная интенсивность, образуемая двумя волнами, которые складываются некогерентно (а), когерентно (б) и частично-когерентно (в),

2.2.2.2. Сложение цилиндрической (или сферической) и плоской волн

Будем предполагать, что плоская волна распространяется вдоль оптической оси системы (рис. 3) и что в точке разность хода (а следовательно, и разность фаз) плоской и цилиндрической волн равна нулю. Тогда в предположении малых углов разность хода между этими двумя волнами равна где радиус сферической волны. Следовательно, разность фаз равна При этом результирующая амплитуда в плоскости х запишется в виде

а результирующая интенсивность

или

Рис. 3. Сложение плоской и цилиндрической волн.

Профиль результирующей интенсивности имеет вид и представляет собой серию интерференционных полос, причем аргумент косинуса зависит от квадрата пространственной координаты. Это иллюстрируется на рис. 4. Если бы задача решалась для сферической и плоской волн, то мы имели бы решение, описываемое

выражением (26) и соответствующее кривой на рис. 4, а, за исключением лишь того, что вместо линейной координаты появилась бы радиальная координата и картина стала бы радиально-симметричной.

Рис. 4. Распределение интенсивности при интерференции плоской и цилиндрической волн, а — кривая профиля интенсивности; б - фотография интерференционной картины.

2.2.2.3. Сложение цилиндрических (или сферических) волн

Эта задача решается аналогично рассмотренным двум предыдущим случаям. Пусть радиусы двух цилиндрических волн (рис. 5, а); тогда результирующая интенсивность дается выражением

в котором мы приняли, что в точке на оптической оси, определяющей начало координаты х плоскости, в которой записывается интенсивность, обе цилиндрические волны имеют нулевую разность фаз.

Рис. 5. Сложение двух цилиндрических волн, распространяющихся в одном и том же направлении (а) и под некоторым углом друг к другу

Если нормали к волновым фронтам двух распространяющихся цилиндрических волн не параллельны оптической оси (рис. 5, б), то в выражениях для результирующих амплитуды и интенсивности

появляются линейный и квадратичный члены относительно х:

и

Последнее выражение представляет собой комбинацию выражений (22) и (27).