4.3.4. Свойства голограмм Фурье

4.3.4.1. Геометрические свойства

В предыдущем параграфе мы рассмотрели некоторые геометрические свойства голограмм Фурье. Основное свойство этих голограмм состоит в том, что и прямое, и сопряженное изображения находятся в одной плоскости, содержащей восстанавливающий источник или его изображение. Это свойство можно получить из математического анализа или более просто с помощью голографических сопряженных соотношений, приведенных в гл. 7. Используя данные, помещенные в табл. 3 гл. 7 и производя замену можно написать следующие выражения для координат прямого изображения:

и сопряженного изображения:

где и прямоугольные координаты соответственно точки объекта, опорного источника и восстанавливающего источника. Прямое и сопряженное изображения располагаются по разные стороны от восстанавливающего источника симметрично по отношению к нему на расстоянии

Следовательно, увеличение определяется выражением

Наиболее важным свойством голограмм Фурье является свойство, вытекающее из того факта, что при записи объект и опорный источник расположены в плоскости, параллельной плоскости голограммы. При таком условии фазовый множитель на который в соответствии с формулой (7) умножается функция пропускания объекта при записи голограммы, сокращается в формирующем изображение члене пропускания голограммы, описываемом выражением (12). Это приводит к следующему важному геометрическому свойству голограммы Фурье: положение восстановленного изображения инвариантно относительно поперечного смещения голограммы. Такое свойство представляет большой интерес для некоторых применений, таких, например, как голографическое кино. Его можно получить также непосредственно из выражения (30).

Однако в ряде случаев, таких, как корреляционная фильтрация, когда положение подлежащего обнаружению объекта неизвестно, остающийся в формуле (12) фазовый множитель должен быть также исключен, поскольку он приводит к появлению в восстановленном изображении фазового коэффициента. В противном случае будет иметь место корреляция между функцией распределения исходного объекта и записанным на голограмме распределением объекта, умноженным на сферический фазовый множитель. Как видно из рис. 3, схемы записи, которые гарантируют исключение этого фазового множителя, должны обеспечивать запись голограмм Фурье таким образом, чтобы голограмма находилась в плоскости, содержащей фурье-образ объекта.

4.3.4.2. Эффекты пространственной неинвариантности

В предыдущих параграфах никак не учитывались эффекты, обусловленные конечными размерами апертур линз. Если между объектом и голограммой нет линз, то другие линзы, присутствующие при записи голограммы, не будут оказывать никакого влияния, за исключением лишь того, что, если эти линзы невысокого качества, они могут приводить к аберрациям. Однако в случае, когда между объектом и голограммой имеется линза (или линзы), как, например, при записи голограммы Фурье — Фраунгофера, линза может отсечь некоторые более высокие пространственные частоты на краях поля объекта, особенно если апертура линзы недостаточно велика по сравнению с размерами объекта. Этот эффект был подробно рассмотрен Гудменом [4]. Арсено и Бруссо [1] показали, что, если диаметр линзы по крайней мере вдвое больше диаметра объекта, обеспечивается получение пространственно-инвариантного преобразования Фурье объекта, но при условии, что объект не

содержит пространственных частот выше радиус линзы, расстояние от объекта до линзы). При выполнении этого условия максимальное значение двумерного произведения пространства на ширину полосы пропускания для рассматриваемой системы запишется в виде

Аналогичные рассуждения применимы и на стадии восстановления, если линза располагается за голограммой.

Если помещаемая за объектом линза является обычной, то рассматриваемый эффект может сильно ограничить информационную емкость голограммы. Однако сложные объективы, сконструированные специально для работы в режиме преобразования Фурье, имеют фокальные плоскости, расположенные достаточно близко к входному зрачку, благодаря чему эффекты пространственной неинвариантности не представляют собой главного ограничивающего фактора для таких объективов.

4.3.4.3. Влияние регистрирующей среды

В приведенном выше анализе предполагалось, что регистрирующая среда способна разрешить весь представляющий интерес спектр пространственных частот, за исключением, пожалуй, лишь частоты отсечки, обусловленной конечными размерами голограммы или линзы, используемой в процессе записи. Разумеется, в любом практическом случае регистрирующая среда (например, фотопластинка) обладает конечной разрешающей способностью и ЧКХ регистрирующей среды оказывается полезной мерой диапазона пространственных частот, в пределах которого можно получить заметный отклик. Для голограммы Фурье влияние ограниченной ЧКХ регистрирующей среды на восстановленное изображение выражается не в ухудшении разрешения в изображении, а в ограничении поля зрения около опорной точки. Изучением таких эффектов в общем виде занимался ван Лигтен [11].

Для объяснения влияния регистрирующей среды на восстановленное изображение рассмотрим для простоты схему получения голограмм Фурье — Фраунгофера и объект в виде единственного точечного источника расположенного в точке Во время экспозиции на регистрирующую среду падает волна, интенсивность которой дается выражением [см. (10)]

где

Подставляя последние выражения в уравнение (33), его можно переписать следующим образом:

Отсюда следует, что в голографии Фурье каждая точка объекта образует на голограмме ряд равностоящих друг от друга интерференционных полос, пространственная частота которых пропорциональна расстоянию от данной точки до опорного источника.

С учетом ЧКХ фотопленки регистрируемая фотопленкой результирующая интенсивность запишется в виде

где значение ЧКХ при пространственной частоте и, соответствующей вкладу света в изображение точки Поскольку наиболее удаленные от опорного точечного источника точки объекта создают на голограмме интерференционные полосы наиболее высокой частоты, восстановленные изображения таких точек испытывают и наибольшее ослабление. Гудмен [4] показал, что, если частотная характеристика фотопленки имеет пренебрежимо малые значения на частотах выше имакс, в изображении будут восстанавливаться только те точки объекта, координаты которых удовлетворяют условию

Более подробное обсуждение вопроса о влиянии ЧКХ регистрирующей среды на восстановленное изображение читатель может найти в книге Смита [7].

4.3.4.4. Аберрации голограмм Фурье

Аберрации голограмм обсуждались в § 2.5. Из приведенного в данном параграфе материала можно видеть, что в общем случае голограммы Фурье имеют меньшие аберрации, чем голограммы Фраунгофера Так, например, сферическая аберрация всегда может быть устранена. Голограмма Фурье — Фраунгофера, при записи которой объект и опорный источник оказываются в бесконечности, вообще обеспечивает единственный на практике случай, когда из плоской голограммы можно восстановить свободное от аберраций изображение, даже если восстанавливающий источник не находится относительно голограммы точно в том же самом месте, которое занимал опорный источник при записи. Дело в том, что голограмма вносит аберрации лишь тогда, когда она изменяет кривизну волнового фронта падающей на нее волны. Когда объект и опорный источник находятся в бесконечности, все волны,

падающие на голограмму при записи, оказываются плоскими. Если теперь такую голограмму восстановить плоской волной, то образуется изображение, свободное от аберраций, поскольку голограмма может преобразовать падающую плоскую волну в другую плоскую волну без внесения аберраций.

Мы не рассмотрели эффектов, связанных с использованием при восстановлении голограммы длины волны, отличной от той, которая использовалась при записи, или эффектов усадки эмульсии во время фотохимической обработки (такая усадка по своему воздействию на восстановленное изображение эквивалентна изменению длины волны). В голограммах Фурье — Фраунгофера не возникает дополнительных аберраций, обусловленных этими эффектами, если при восстановлении используются плоские волны.

Поскольку в голографии аберрации представляют собой обычное явление, ограничивающее качество изображения, голограммы Фурье — Фраунгофера занимают в этом смысле привилегированное положение среди голограмм остальных типов.

4.3.4.5. Информационная емкость голограмм Фурье

Голограммы Фурье обладают значительно большей информационной емкостью, чем голограммы Френеля, и это необходимо учитывать при необходимости использовать максимальную плотность записи регистрирующей среды. Предположим, что поле объекта имеет протяженность Если этот объект преобразуется по Фурье с помощью линзы с фокусным расстоянием то по теореме выборки преобразование Фурье этого объекта полностью определяется его выборочными точками, отстоящими друг от друга на одинаковом расстоянии, равном Если фурье-образ объекта имеет пространственную протяженность то число выборочных точек на длине равно и это число называется произведением пространства на полосу пропускания голограммы. Очевидно, что в случае двумерного объекта число независимых выборочных точек на голограмме Фурье дается выражением

Однако в случае голограмм Френеля регистрируемая интенсивность содержит дополнительный множитель вида который осуществляет функции линзы, что позволяет восстанавливать голографические изображения без использования линз. Число выборочных точек, необходимое для записи такой функции линзы, быстро растет с увеличением размера голограммы. Обычно отношение информационных емкостей голограмм Фурье и Френеля лежит в пределах 4—100. Однако в действительности для достижения максимальной плотности записи приходится учитывать и другие факторы, такие, как отношение сигнал/шум. Детальное

рассмотрение этих вопросов с применением численных расчетов можно найти в приложении к отчету, выполненному Козмой и др. [5].

Бестенрейнер и др. [2] показали, что при записи на матрицу голограмм полных страниц текста достижима удельная информационная емкость если использовать слегка дефокусированные голограммы Фурье — Фраунгофера диаметром Матрицы голограмм обсуждаются в § 10.1.

4.3.5. Заключение

Из выражения (17) следует, что любая голограмма Фурье формально эквивалентна безлинзовой голограмме Фурье. Это полезное свойство не должно затенять тот факт, что разные типы голограмм Фурье существенно отличаются друг от друга.

В случае когда голограмма Фурье применяется в качестве пространственного фильтра (в таких применениях, как корреляционный анализ или винеровская фильтрация), обычно необходимо использовать одну из таких схем записи, в которых фурье-образ объекта совмещается с плоскостью записи голограммы. Хотя теоретически голограмма Фурье — Фраунгофера представляет собой наилучший выбор для этой цели, поскольку она позволяет свести к минимуму голографические аберрации, требования к величине аберраций используемого объектива столь жесткие, что, если требуется высокая разрешающая способность, стоимость объектива может оказаться ограничивающим фактором для некоторых применений.

Если позади объекта помещается рассейватель с целью создания более равномерного распределения света и, следовательно, более эффективного использования площади голограммы, то голограмму все же необходимо расположить надлежащим образом в соответствии с рекомендациями, рассмотренными выше.

Приложение. Свойства оператора оптического распространения

Оператор распространения оптической дифракции определяется следующим образом:

Полезность этого оператора вытекает из того факта, что распространение когерентной волны света в свободном пространстве на расстояние можно записать в виде свертки комплексной амплитуды и оператора Кроме того, прохождение волны через линзу с фокусным расстоянием можно описать также произведением комплексной амплитуды света, падающего на линзу, и функции

Ниже мы перечислим некоторые важные свойства оператора их можно без труда проверить с помощью определения

(П1). Таким образом,

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)