7.5. УРАВНЕНИЯ СОПРЯЖЕНИЯ

7.5.1. Основные уравнения

Главные лучи, описанные в предыдущих параграфах, позволяют определять положения изображений графическим способом. Поскольку эти лучи не являются параксиальными, связанные с ними соотношения сопряжения не ограничены параксиальным приближением, но при правильном использовании пригодны в общем случае для определения положений изображения, даже когда параксиальные условия не соблюдаются.

Уравнение сопряжения для прямого изображения можно получить из рассмотрения подобных треугольников на рис. 5. Если считать положительными расстояния до голограммы от объекта, опорного источника и восстанавливающего источника, когда они находятся слева от меридиональной линии, а изображение — справа, и если считать, что выпуклые линзы имеют положительные фокусные расстояния, то можно записать следующее уравнение в полярных координатах:

где расстояния от объекта О, опорного источника восстанавливающего источника С и изображения I измеряются от первичной вершины, а углы отсчитываются от меридиональной линии на вершине V в меридиональной плоскости.

Уравнения сопряжения можно записать также в декартовых координатах. Если предположить, что координата х параллельна меридиональной линии, ось у перпендикулярна ей, а начало координат расположено где-либо на меридиональной линии, то декартовы координаты прямого изображения связаны с декартовыми координатами объекта О, опорного источника и восстанавливающего источника С соотношениями

Если начало координат выбрано на первичной вершине голограммы, то эти соотношения принимают вид

Эти соотношения представляют собой уравнения сопряжения в параксиальном приближении для декартовых координат; следует заметить, что эти уравнения позволяют с высокой точностью определять точки изображения даже в непараксиальном случае. Кроме того, соотношение для у справедливо для любого расположения начала координат на меридиональной линии. Отсюда следует, что если объект, восстанавливающий и опорный источники перемещаются в меридиональной плоскости параллельно меридиональной линии (не обязательно вместе), то расстояние от меридиональной линии до изображения не изменяется.

В табл. 3 представлены декартовы координаты изображений для различных пар сопряженных пространств по отношению к декартовым координатам объекта О, опорного источника и восстанавливающего источника С.

Если расстояния измеряются от первичной вершины V (изображение по типу I и типу II) или от вторичной вершины (изображение по типу IV и типу V), то в этом случае в третьей колонке табл. 3 мы имеем более простые выражения. В случае же, когда начало координат располагается в какой-либо точке на меридиональной линии, мы имеем более сложные выражения (см. последнюю колонку в табл. 3). Если нам нужно получить соотношения, когда начало координатных осей может находиться в любой точке меридиональной плоскости, то это нетрудно сделать; для этого нужно в соответствующее соотношение из последней колонки табл. 3 добавить ко всем расстояниям по оси у расстояния от начала координат до меридиональной линии.

В табл. 2 представлены соотношения сопряжения в полярных координатах для различных пар сопряженных пространств. Фокусные расстояния измеряются вдоль первичной оси для получения изображений по типу I и II, тогда как для типа IV и V они измеряются вдоль вторичной оси. Как мы упоминали выше, расстояния считаются положительными слева от линзы для объекта О, опорного источника и восстанавливающего источника С и справа от линзы для изображения. Углы измеряются от меридиональной линии с вершины; положительным считается фокусное расстояние для выпуклой линзы, тогда как отрицательное соответствует вогнутой линзе. В последней колонке табл. 2 для сравнения указаны оптические элементы, свойства которых по формированию изображений совпадают со свойствами голограмм. Особые свойства сопряженного

Таблица 3 (см. скан) Соотношения сопряжения в голографии (декартовы координаты)

изображения трехмерного объекта относятся к получению изображения по типу IV, и мы их подробно рассмотрим в следующем разделе.

7.5.2. Свойства сопряженного изображения

Сопряженное изображение, восстановленное с голограммы, имеет некоторые особые свойства, к которым относится явление обращения глубины. Для изучения этого явления удобно использовать сопряженные пространства объекта и сопряженного изображения (тип V). В этом случае получение изображений по типу II

(восстанавливающий источник и сопряженное изображение) непригодно, поскольку для протяженного объекта первичная вершина меняет свое положение для каждой точки объекта и из соотношений сопряжения типа II не вытекает наличие каких-либо особых свойств.

Соотношения сопряжения типа V показывают, что формирование сопряженного изображения напоминает формирование изображения зеркалом. Однако здесь имеются существенные различия: во-первых, из соотношений сопряжения следует, что изображение аналогично изображению, получаемому от мнимого объекта (из-за отрицательного знака расстояния до объекта), и, во-вторых, как можно видеть на рис. 6, осевая симметрия относительно вторичной оси нарушается, как только вторичная ось перестает быть перпендикулярной меридиональной линии. Это вытекает из наличия второго члена в соотношении сопряжения для х при получении изображения по типу V или в сложном выражении для угла изображения, измеренного от вторичной вершины в полярных координатах (табл. 2).

При записи на голограмму трехмерного объекта точки, ближайшие к голограмме, будут также ближайшими к голограмме и в восстановленном сопряженном изображении, видимом сквозь голограмму. Если это изображение находится по ту же сторону от голограммы, что и наблюдатель (рис. 6), то будет наблюдаться кажущееся обращение глубины, почему это изображение иногда и называют псевдоскопическим.

Определим теперь условия, при которых имеет место эффект обращения глубины. Запишем соотношение для расстояния от меридиальной линии до сопряженного изображения

и продифференцируем его по расстоянию до объекта считая постоянными. Изображение будет псевдоскопическим, если

Это условие удовлетворяется, если

Для большинства схем записи и восстановления это означает, что изображение будет псевдоскопическим, только если сопряженное изображение будет находиться по другую сторону голограммы восстанавливающего источника, т. е. будет действительным.