4.3. ГОЛОГРАФИЯ ФУРЬЕ

А. Арсено, Ж. Априль

4.3.1. Введение

Голограммы Фурье можно определить как голограммы плоского объекта, записываемые с помощью опорного источника, расположенного в плоскости объекта, параллельной плоскости голограммы. Строго говоря, такое рассмотрение применимо лишь к двумерным объектам и практически неприменимо к объектам, выходящим за пределы входной плоскости. Существуют различные типы голограмм Фурье в зависимости от того, как записываются голограммы, с использованием линз или без них, и каким образом освещается объект,

однако все они имеют некоторое сходство и обладают очень полезными свойствами.

Голограммы Фурье так названы не потому, что они регистрируют фурье-образ объекта, а благодаря той особенности, что изображение объекта можно получить фурье-преобразованием голограммы.

Один из способов, который позволил бы нам понять сущность голограмм Фурье, — это использование свойства линз производить преобразование Фурье; это свойство линз является весьма важным для понимания операций пространственной фильтрации в оптических процессорах, использующих неголографические пространственные фильтры, однако оно играет незначительную роль при объяснении свойств голограмм Фурье. Поэтому мы используем иной подход к голографии Фурье, в котором линзы (если они используются) выполняют лишь свою обычную функцию отображения пространства объекта в пространство изображения. Можно показать, что любая голограмма Фурье представляет собой частный случай безлинзовой голограммы Фурье, на которой записан объект, освещенный неколлимированным светом.

4.3.2. Предварительные математические сведения

Преобразование Фурье двумерной пространственной функции записывается в виде

где пространственные частоты. Введем векторы и Тогда приведенное выше преобразование Фурье примет вид

Мы также будем использовать операторную запись распространения оптической дифракции, в которой дифракция света от плоскости до плоскости отстоящей от первой на расстояние записывается в виде свертки комплексной амплитуды в плоскости с оператором распространения который определяется следующим образом (в приближении дифракции Френеля):

При этом для комплексной амплитуды в плоскости имеем

где обозначает свертку, длина волны света.

Некоторые свойства оператора оптического распространения можно найти в книге Кольера и др. [3], а также в статье Вандер Люгта [10]. Кроме того, эти свойства кратко рассмотрены в разд. 4.3.6.

4.3.3. Схемы записи и восстановления

Вандер Люгт [9] впервые применил голограммы Фурье, причем для записи голограмм он использовал интерферометр Маха — Цандера с линзами — систему, эквивалентную схеме Фурье — Фраунгофера в работе [6]. Это до сих пор самая популярная схема, и мы ее рассмотрим в п. 4.3.3.4. Любую голограмму Фурье можно рассматривать как частный случай исследуемого ниже типа голограммы, называемой безлинзовой голограммой Фурье.

4.3.3.1. Безлинзовая голограмма Фурье

Строук и др. 18] показали, что можно получить и без применения линз голограммы, свойства которых аналогичны свойствам голограмм Фурье, записываемым с помощью линз. Чтобы записать безлинзовую голограмму Фурье, опорный источник помещают в той же плоскости, в которой находится объект. Предположим, что объект точечный. Тогда записанная на голограмме интерференционная картина будет представлять собой серию полос, отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии, в противоположность случаю, когда опорный источник находится не на том же расстоянии от голограммы, что и объект.

Рис. 1. Схема записи безлннзовой голограммы Фурье.

В последнем случае интерференционные полосы сгущаются по мере того, как они все больше удаляются от оси симметрии.

Рассмотрим теперь общий случай, представленный на рис. 1. Объект с комплексным пропусканием освещается волной от точечного источника, расположенного на расстоянии от объекта. На рисунке объект освещается расходящимся пучком, однако с таким же успехом без потери общности его можно освещать и сходящимся пучком (действительно, голограммы Фурье иногда записываются именно таким образом). Предположим, что объект находится

на расстоянии от голограммы. Опорный источник расположен в той же самой плоскости, что и объект Комплексную амплитуду опорного точечного источника можно записать в виде

Из выражений (3) и (4) следует, что комплексная амплитуда опорной волны в плоскости голограммы с точностью до постоянного комплексного фазового множителя модуль которого равен единице, равна

или

Излучаемый точечным источником и падающий на голограмму свет дифрагирует на промежутке от источника до объекта, в плоскости объекта он умножается на его комплексное пропускание и затем дифрагирует на промежутке от объекта до голограммы. Следовательно, комплексную амплитуду света от объекта в плоскости голограммы можно записать в виде

Используя свойства функции выражение (7) можно переписать следующим образом:

где -образ функции пропускания а и — пространственная частота, определяемая выражением

Регистрируемая в плоскости голограммы интенсивность интерференционной картины, образуемой объектной и опорной волнами, равна

Интерес представляют первые два члена в выражении (10). Мы исследуем только первый член. Аналогичным образом можно исследовать и второй член, который мы обсудим ниже.

Предположим, как обычно, что фотопластинка проявлена таким образом, чтобы ее амплитудное пропускание было пропорционально экспозиции. При этом составляющая функции пропускания голограммы, ответственная за непосредственное формирование изображения, запишется в виде

Эти выражения описывают распределение комплексных амплитуд в продифрагировавшей на голограмме волне непосредственно за голограммой, когда она освещается плоской волной единичной амплитуды при условии, что параметры голографической записи выбраны надлежащим образом.

Рассмотрим теперь, к чему приводит фурье-преобразование выражения (12). Члены в квадратных скобках дадут комплексное пропускание объекта, умноженное на комплексный фазовый множитель. Экспоненциальный член справа приведет к сдвигу восстановленного изображения на величину, пропорциональную смещению опорного пучка. При наблюдении изображения глазом комплексный фазовый множитель исчезнет и останется только интенсивность исходного объекта. Таким образом, выражение (12) описывает фурье-преобразование объекта, за исключением лишь того, что при восстановлении появляется фазовый множитель. Вот почему голограмма, записанная по схеме на рис. 1, называется безлинзовой голограммой Фурье. Свойства таких голограмм мы обсудим в разд. 4.3.4.

4.3.3.2. Эквивалентная безлинзовая голограмма Фурье

Мы покажем здесь, что любая голограмма Фурье эквивалентна безлинзовой голограмме Фурье. Рассмотрим общий случай получения голограммы Фурье, когда считается, что линза преобразует свет как от объекта, так и от опорного источника.

Рис. 2. Эквивалентная безлинзовая голограмма Фурье.

На рис. 2 приведена исследуемая схема записи голограммы. Из рисунка мы видим, что объект освещается расходящимся светом от точечного источника расположенного перед объектом на расстоянии Опорный источник является точечным и расположен в плоскости объекта, но смещен от оптической оси на величину . Пусть плоскость I —

плоскость геометрического изображения объекта О, формируемого линзой, а плоскость плоскость голограммы. Мы предполагаем, что апертура линзы достаточно велика и, следовательно, можно пренебречь эффектами виньетирования.

Если обозначить через соответственно положения объекта и голограммы относительно линзы, то комплексную амплитуду света объекта в плоскости голограммы можно записать в виде

Аналогично комплексная амплитуда опорной волны, исходящей из точечного источника расположенного в плоскости объекта, в плоскости голограммы дается выражением (без учета постоянного фазового множителя)

Можно показать, что выражения (13) и (14), записанные как функции расстояний связывающих относительные положения плоскости голограммы, изображения источника света и геометрического изображения I объекта, примут вид

где увеличение системы формирования изображения. Таким образом, член пропускания голограммы, отвечающий за непосредственное формирование изображения, как и в выражении (11), определяется формулой

Сравнивая это выражение с формулой (12), мы видим, что они формально идентичны, за исключением постоянного множителя. Эквивалентность выражений (12) и (17) позволяет сделать следующий вывод: любая голограмма Фурье эквивалентна безлинзовой голограмме Фурье. Эквивалентная бензлинзовая голограмма Фурье записывается по следующей схеме:

1. Находят изображение 1 объекта, формируемое всеми линзами, расположенными между плоскостями объекта и голограммы.

2. Определяют изображение освещающего источника, которое образуется всеми линзами, расположенными между источником и голограммой.

Голограмма эквивалентна безлинзовой голограмме Фурье, на которой записано геометрическое изображение I объекта с помощью освещающего источника, идентичного

В ряде случаев, соответствующих рис. 2, эквивалентная безлинзовая голограмма Фурье — это голограмма, на которой записано изображение I, освещаемое источником Эта концепция эквивалентности в некоторых частных случаях, представляющих интерес, позволяет сделать существенные упрощения (рис. 3).

Рис. 3. Параметры эквивалентной безлинзовой голограммы Фурье для различных схем записи, а — безлинзовая голограмма Фурье (случай параллельного освещения), ; б - освещение сходящейся волной, в — объект перед линзой, голограмма Фурье — Фраунгофера,

Для изображенных на рис. 3 случаев член пропускания голограммы, соответствующий непосредственному формированию изображения, определяется следующими выражениями:

1. Безлинзовая голограмма Фурье (освещение коллимированньш пучком):

2. Освещение сходящимся пучком:

3. Объект перед линзой:

4. Голограмма Фурье — Фраунгофера:

4.3.3.3. Восстановление голограмм Фурье

Рассмотрим теперь восстановление безлинзовых голограмм Фурье. В предыдущем пункте мы показали, что любая голограмма Фурье имеет эквивалентную безлинзовую голограмму Фурье, поэтому материал, обсуждаемый в этом пункте, применим к любой голограмме Фурье.

Если амплитудное пропускание проявленной голограммы пропорционально экспозиции при записи, то в соответствии с формулой (10) распределение комплексных амплитуд в дифрагированной на голограмме волне непосредственно за голограммой, когда при восстановлении используется нормально падающая плоская волна, запишется в виде

Два первых члена этого выражения формируют восстановленные изображения объекта, причем первый равен а второй комплексно-сопряжен первому.

Чтобы восстановить изображение с безлинзовой голограммы Фурье, необходимо осуществить над ней операцию преобразования Фурье.

Рис. 4. Восстановление действительных изображений с голограммы Фурье.

Это можно реализовать, например, наблюдая картину дифракции Фраунгофера, создаваемую голограммой. Преобразование Фурье можно также наблвдать в фокальной плоскости линзы, освещаемой коллимированным пучком, если голограмму поместить в пучок света перед линзой или после нее. Например, если голограмма помещена непосредственно за линзой с фокусным расстоянием (рис. 4), то члены нулевого порядка будут сфокусированы в начале координат фокальной плоскости. При этом благодаря фурье-преоб-разующим свойствам линзы члены, формирующие прямое и сопряженное изображения, создадут распределения комплексных

амплитуд определяемые выражениями

и

где К — комплексная постоянная.

При наблюдении распределения интенсивности в фокальной плоскости линзы все фазовые множители исчезают и наблюдаемая интенсивность изображений оказывается пропорциональной выражению

Отсюда видно, что имеются два восстановленных изображения по разные стороны от оптической оси. Эти два изображения расположены симметрично относительно оптической оси: прямое изображение, описываемое первым членом в выражении (21), является перевернутым и центрированным в точке а сопряженное ему изображение — прямым и центрированным в точке В данной схеме восстановления оба изображения действительны.

Рис. 5. Восстановление мнимых изображений с голограммы Фурье.

Однако могут быть восстановлены и мнимые изображения при простом освещении голограммы от точечного источника, как показано на рис. 5, и наблюдении этого источника через голограмму. Восстановленные мнимые изображения при этом появляются в плоскости точечного источника по разные стороны от него. Расположение этих изображений можно также понять из геометрии, рассмотренной в п. 4.3.4.1.

4.3.3.4. Голограмма Фурье — Фраунгофера

Имеется один частный случай голограммы Фурье, который играет важную роль и заслуживает того, чтобы его рассмотреть подробно. Речь идет о голограмме, записывающей интерференцию двух

волн, распределения комплексных амплитуд которых в плоскости регистрации представляют собой фурье-образы как объекта, так и точечного опорного источника. Такая голограмма называется голограммой Фурье — Фраунгофера. Для ее записи часто используют схему, приведенную на рис. 6, которая известна как схема записи в фокальных плоскостях (схема фокус — фокус).

Рис. 6. Схема записи голограммы Фурье — Фраунгофера.

В этой схеме объект и точечный опорный источник расположены в передней фокальной плоскости линзы, а фотопластинка помещается в задней фокальной плоскости линзы. Каждая точка объекта создает параллельный пучок света, который падает на фотопластинку. Внеосевой точечный опорный источник также преобразуется линзой, в результате чего формируется коллимированный опорный пучок, распространяющийся под некоторым углом к оптической оси. Наблюдая со стороны голограммы, можно видеть, что и объект, и опорный источник фактически располагаются в бесконечности. При рассмотрении аберраций голограмм будет показано, что это последнее свойство является весьма важным.

Поскольку в данном случае объект освещается плоской волной, то для эквивалентной безлинзовой голограммы Фурье мы имеем Если фокусное расстояние линзы равно то в соответствии с выражением (17) член, формирующий прямое изображение, запишется в виде

где использован тот факт, что при этих условиях

и

Следует заметить также, что распределение комплексных амплитуд в плоскости голограммы определяется точными преобразованиями Фурье функции амплитудного пропускания объекта и опорного источника, т. е.

и

При восстановлении этой голограммы в той же самой схеме распределение комплексных амплитуд по объекту будет восстановлено без какого-либо фазового множителя. Если же при восстановлении используется линза с фокусным расстоянием отличающимся от того, которое было использовано при записи (например, Д), то и прямое, и сопряженное изображения формируются в фокальной плоскости линзы, причем с увеличением, равным

Предложенная Лейтом и Упатниексом [6] голограмма Фурье — Фраунгофера имеет ряд преимуществ, которые мы рассмотрим в разд. 4.3.4.

4.3.3.5. Голограмма квази-Фурье - Фраунгофера

Поскольку голограммы записываются на материалах, имеющих ограниченный динамический диапазон, то обычно весьма желательно уменьшить диапазон изменений экспозиций на голограмме. Известно, что Фурье-образ полутонового объекта может иметь исключительно интенсивный нулевой порядок, в то время как интенсивность высокочастотных составляющих спектра оказывается низкой.

Рис. 7. Схема записи голограммы квази-Фурье - Фраунгофера.

Таким образом, специалисту по голографии приходится выбирать между передержкой фотопластинки в области низких частот или ее недодержкой в области высоких частот. В обоих случаях дифракционная эффективность проявленной голограммы изменяется.

Динамический диапазон экспозиций можно уменьшить за счет слабой дефокусировки при записи голограммы, как это показано на рис. 7. В этом случае член пропускания голограммы, отвечающий за формирование прямого изображения, записывается в виде

где величина дефокусировки, а вектор пространственной частоты. Оператор «сглаживания» будет так же воздействовать и на не нужный нам свет на оптической оси, уменьшая таким образом интенсивность пика освещенности в начале координат плоскости голограммы. Величину дефокусировки можно сделать достаточно большой, чтобы значительно уменьшить динамический диапазон интенсивности света, падающего на голограмму; однако она должна быть и довольно малой,чтобы сохранить преимущества голограммы Фурье — Фраунгофера. Обычно бывает достаточно установить величину дефокусировки в пределах 5—10% фокусного расстояния преобразующей линзы. Этот метод уменьшения динамического диапазона часто используется в применениях голографии для целей распознавания образов и записи больших массивов информации.