235. Задача двух тел.

Рассмотрим Солнце и определенную планету, как две материальные точки, совпадающие с их центрами тяжести. Так как массы остальных тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца, то в первом приближении мы положим их равными нулю. Другими словами, допустим, что солнечная система состоит из Солнца и одной единственной планеты. Мы приходим таким образом к простой задаче двух тел, для которой можно найти все интегралы. В небесной механике исследуется, каким образом, после того как эти интегралы будут вычйслены, надо их изменить, чтобы рассчитать действия остальных тел солнечной системы.

Пусть — массы Солнца S и планеты Р, а координаты. Так как абсолютное значение силы притяжения обеих точек равно то проекции силы, действующей на Солнце будут

а проекции силы, действующей на планету Р, будут иметь те же выражения, но с обратными знаками. Тогда будем иметь уравнения движения:

Легко проинтегрировать эту систему, определяющую в функции присоединяя к ней соотношение

Сложим почленно соответствующие уравнения систем (S) и (Р).

Тогда получим три уравнения вида

которые, если обозначить через координаты центра тяжести системы, т. е.

преобразуются к виду:

Рис. 148.

Эти три уравнения показывают, что центр тяжести системы совершает прямолинейное равномерное движение, т. е. выражают лишь частный случай общей теоремы о движении центра тяжести.

Найдем теперь относительное движение точки Р по отношению к Для этого перенесем оси в точку S (рис. 148) и пусть — новые координаты планеты Р:

Если из уравнений (S) вычесть уравнения (Р), сократив их предварительно на М и то они примут вид:

Это — уравнения относительного движения. Их вид показывает, что точка движется относительно точки S так, как если бы последняя была неподвижна, имела бы массу вместо М и продолжала бы притягивать точку Р по закону Ньютона. Действительно, вышенаписанные уравнения являются уравнениями движения точки массы притягиваемой к неподвижному началу силой имеющей вид

Отсюда следует, что к этому движению применим первый закон Кеплера: относительная траектория является коническим сечением, имеющим фокус в точке S и описываемым по закону площадей. Так как речь идет о планете, то это коническое сечение является эллипсом, и если вычислить элементы этого эллипса, то, обозначив через а большую полуось и через Т — период обращения, мы получим соотношение, связывающее эти два элемента:

Мы замечаем, что отношение не зависит от т.

Если коэффициент известен то из этого соотношения можно получить приближенное значение для

Для другой планеты с той же степенью приближения имеем

откуда выводим

Так как отношения будут порядка тысячных долей, то мы видим, что член в правой части очень близок к единице. Вследствие этого третий закон Кеплера является только приближенным законом.