83. Поверхности уровня.

Сделаем несколько важных замечаний, относящихся к случаю, когда существует силовая функция

Пусть — одно из положений материальной точки, а — полупрямая, параллельная оси (рис. 60). Проекция силы на эту полупрямую равна т. е. равна пределу отношения

когда стремится к нулю. Здесь М — точка на полупрямой и — значение функции в этой точке. Так как направление оси может быть выбрано произвольно, то мы видим, что проекция силы на произвольное направление равна пределу отношения

когда стремится к нулю, где — точка на прямой — значение функции в этой точке. Этот предел называется производной функции по направлению

Поверхности, определяемые уравнением

где С — постоянная, называются поверхностями уровня. Изменяя непрерывным образом С, мы получим семейство таких поверхностей, причем через каждую точку области пространства, в которой определена функция проходит одна из этих поверхностей. Сила, действующая на материальную точку в каком-нибудь ее положении М, нормальна к поверхности уровня , проходящей через М, так как ее проекции равны трем частным производным функции или функции

Рис. 60.

Более того, сила направлена относительно этой поверхности в ту ее сторону, в которую функция возрастает. В самом деле, пусть — нормаль к поверхности уровня направленная в сторону возрастания Проекция силы на эту нормаль совпадает с самой силой. Она будет положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли сила направлена по или в противоположную сторону. Так как эта проекция равна

где — точка на бесконечно близкая к М, то она положительна, ибо, по предположению, Таким образом, сила направлена по нормали и ее величина равна производной от функции по этой нормали, что символически может быть обозначено следующим образом:

Проведем поверхность уровня бесконечно близкую к со стороны возрастания Эта поверхность пересечет какую-нибудь нормаль в некоторой точке Так как принимает на поверхности постоянное значение то выражение

в котором числитель постоянен для всех положений точки М на поверхности показывает, что сила изменяется обратно пропорционально отрезку нормали к поверхности уровня , заключенному между этой поверхностью уровня и поверхностью уровня, бесконечно близкой к ней.

Поэтому распределение сил в рассматриваемом поле можно приближенно представить следующим образом.

Пусть — постоянная, выбираемая тем меньшей, чем лучшим желательно получить приближение. Построим поверхности уровня

и припишем этим поверхностям номера . В точке М какой-нибудь из поверхностей имеющей номер построим нормаль в сторону поверхности имеющей номер и обозначим через точку пересечения этой нормали с поверхностью Тогда сила в точке М направлена в сторону и имеет приближенное значение