272. Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности.

Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату поверхности разложить для малых значений х и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид

где добавочный член по крайней мере, третьего порядка относительно и — оба главных радиуса кривизны поверхности в точке О. Так как материальная точка является тяжелой, то имеется силовая функция

которую мы написали в предположении, что Функция Лагранжа Т имеет вид

где

При малых колебаниях около рассматриваемого положения равновесия х и у остаются очень малыми; составляющие х и у скорости также очень малы, так как сама скорость, как мы видели (п. 267), очень мала. Мы будем рассматривать как величины одного и того же порядка. В выражении Т будут тогда содержаться два члена второго порядка и третий член четвертого порядка. Мы пренебрежем им по сравнению с двумя первыми и получим

Если в выражении заменить его значением, то разложение начнется двумя членами второго порядка, которые мы только и сохраним, пренебрегая членами более высокого порядка. Получим

Уравнения Лагранжа в применении к переменным х и у, играющим роль параметров будут

Но поскольку Т не содержит ни х, ни у, они примут вид

Эти уравнения сразу интегрируются:

где — произвольные постоянные, которые должны быть определены по начальным условиям. Таким образом, мы получили бесконечно малые колебания. Координата х принимает свое первоначальное значение через промежуток времени а координата у — через промежуток Если эти два периода соизмеримы, то горизонтальная проекция траектории будет алгебраической кривой, которая получается исключением из уравнений (1). Траектория будет трансцендентной, если оба периода несоизмеримы. В этом случае движение обладает некоторыми своеобразными особенностями. Рассмотрим в плоскости прямоугольник, образованный прямыми Кривая, определяемая уравнениями (1), касается бесчисленное множество раз сторон этого прямоугольника. Так, эта кривая касается стороны (рис. 167) при всех значениях вида

Рис. 167.

Более того, траектория некоторым образом как бы покрывает всю площадь этого прямоугольника. Мы это докажем, установив, что для произвольной точки Р с координатами внутри прямоугольника существует бесчисленное множество значений при которых движущаяся точка подходит к Р на расстояние, меньшее любого заданного числа. Пусть в самом деле, — дуги, определяемые формулами

Если переменному придать значение вида

то абсцисса х движущейся точки будет равна , а ее ордината у будет иметь вид

где — произвольное целое число. По предположению, числа рад несоизмеримы; следовательно, можно определить два целых числа, и к таким образом, что

будет отличаться сколь угодно мало от любого заданного числа и, в частности, от При соответствующих значениях координата у будет отличаться сколь угодно мало от , т. е. от и так как при этом х будет равняться , то движущаяся точка пройдет сколь угодно близко от Р.