269. Естественные уравнения и нормальная реакция.

Отметим на траектории, лежащей на поверхности, начало дуг А (рис. 166). Пусть М — произвольное положение движущейся точки. Проведем через эту точку касательную в направлении возрастающих дуг, и пусть С — центр кривизны нормального сечения поверхности, касающегося - его радиус кривизны. За положительное направление нормали к поверхности мы примем направление Пусть также МС — главная нормаль траектории и ее радиус кривизны. Обозначим через угол между соприкасающейся плоскостью траектории и нормалью к поверхности.

На основании теоремы Менье имеем

Рис. 166.

Проектируя направление на касательную плоскость, мы получим полупрямую на которой мы будем рассматривать направление проекции отрезка как положительное. Пусть теперь — проекции силы на прямые а алгебраическое значение нормальной реакции. Мы знаем, что равнодействующая сил и разлагается на две силы, из которых одна

равна и направлена по а другая равна и направлена по эта система двух сил эквивалентна системе, образованной силами и Приравнивая суммы проекций сил каждой из этих систем на оси имеем:

Этим уравнениям можно придать более простую форму. Обозначим через радиус геодезической кривизны и воспользуемся найденным выше соотношением Тогда предыдущие уравнения примут вид

Если имеется силовая функция, то и последняя из предыдущих формул позволит вычислить нормальную реакцию без предварительного определения движения при условии, что известен радиус кривизны

Из этих уравнений можно вывести интересное следствие. Подвергнем поверхность такой деформации, чтобы длины начерченных

на ней линий не изменились. При таком преобразовании радиусы геодезической кривизны не изменяются. Если, следовательно, изменить силу таким образом, чтобы не изменилась ее проекция на касательную плоскость, то первые два из написанных выше уравнений, определяющие движение, не изменятся и движение будет таким же, как и в первом случае. Изменится только нормальная реакция. Мы видим, таким образом, что траектория тяжелой точки, двигающейся на вертикальном цилиндре, получится навертыванием на этот цилиндр параболы с вертикальной осью. Точно так же траектория тяжелой точки на круговом конусе с вертикальной осью получится навертыванием на этот конус плоской траектории точки, движущейся под действием постоянной центральной силы.