37. Всегда ли целое больше своей части?

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т. е. совокупность всех чисел и т. д., и множество квадратов всех целых чисел, т. е. совокупность всех чисел и т. д. (Числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. будем называть квадратными числами.) Всякое натуральное число является «элементом» множества всякое квадратное — «элементом» множества Каждое из этих множеств бесконечно, но ясно, что второе множество является лишь частью первого: ведь среди натуральных чисел мы встречаем все без исключения квадратные числа: по, кроме того, еще сколько угодно чисел, не являющихся квадратами, как

Теперь напишем натуральные числа в порядке их возрастания в одну строку и под каждым натуральным числом подпишем его квадрат. Получим две бесконечно длинные строки, начала которых приводим:

Сопоставление этих двух строк приводит к совершенно неожиданному заключению: оба взятых множества, а именно множество всех натуральных чисел (первая строка) и множество всех квадратных чисел (вторая строка) имеют равное число элементов Другими словами: сколько существует натуральных чисел, столько же существует и квадратных чисел, и обратно. Следовательно, часть (множество равна своему целому (множеству

Неравенство есть некоторое отношение между величинами. Оно, естественно, должно обладать некоторыми общими свойствами. Одно из этих свойств выражено восьмой аксиомой первой книги «Начал» Евклида: «И целое больше части»

Возникает вопрос всегда ли целое больше своей части?