III. РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

63. Подобные треугольники с равными сторонами.

Возьмем два подобных разносторонних треугольника и обозначим стороны первого в порядке возрастания буквами а сходственные стороны второго буквами В силу пропорциональности сходственных сторон подобных многоугольников имеем: где коэффициент подобия, а потому

Если то все стороны наших двух треугольников соответственно равны, равны и треугольники. Равенство треугольников является, таким образом, частным случаем подобия.

Может показаться, что раз треугольники подобны, но не равны, то равных сторон у них нет. Ошибочность такого заключения показывает простое рассмотрение треугольников со сторонами 8, 12, 18 см и 12, 18, 27 см. Стороны второго в раза больше соответствующих сторон первого, а потому эти треугольники подобны (но не равны). Как видим, эти два треугольника имеют две пары соответственно равных сторон.

Установим условия, которым должны удовлетворять два подобных, но не равных треугольника, имеющие две пары соответственно равных сторон.

Будем считать Наименьшая сторона а первого треугольника (со сторонами ) меньше наименьшей стороны второго треугольника (со сторонами ) и не может равняться ни одной из сторон последнего.

Средняя по величине сторона первого треугольника может равняться только наименьшей стороне второго

треугольника (так как меньше и подавно меньше ), а наибольшая сторона с первого треугольника равна либо наименьшей стороне либо средней стороне второго треугольника. В случае, когда две стороны первого треугольника равны двум сторонам второго треугольника, должно быть Отсюда выводим, что Таким образом, стороны первого треугольника образуют геометрическую прогрессию Стороны второго треугольника равны и представляют собой второй, третий и четвертый члены той же геометрической прогрессии.

Сторона а может быть какой угодно. Но число не вполне произвольно. Оно должно удовлетворять неравенству так как наибольшая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Разделив обе части этого неравенства на а, получаем неравенство , которому должно удовлетворять число (к этому же неравенству приводит и рассмотрение второго треугольника). Разлагая квадратный трехчлен на множители, переписываем это неравенство в виде или в виде и замечаем, что выражение во второй скобке при всегда положительно. Следовательно, выражение в первой скобке должно быть отрицательным, а потому:

Итак, два подобных неравных треугольника имеют две пары соответственно равных сторон тогда и только тогда, когда стороны первого треугольника равны а стороны второго причем сторона а произвольна, а число заключается между

Можно указать сколько угодно пар таких треугольников.