5.3. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО КОНТУРА С ПОМОЩЬЮ z- и w-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Пусть неизменяемая часть системы соответствует рис. 5.5. Расчет, когда условия теоремы Котельникова выполняются либо нарушаются несильно. В этом случае синтез помимо того, как это показано в 5.1, можно проводить еще и следующим образом.

1. Найдем z-передаточную функцию , соответствующую (пусть ), тогда

(подробнее см. в § 5.4).

После этого становится известной эквивалентная z-передаточная функция разомкнутой неизменяемой части системы , которая приближенно (см. пример 3.2) описывает передаточную функцию исходной разомкнутой системы:

2. Строим z-АФЧХ неизменяемой части системы

(см. пример 4.2), по которой можем построить соответствующую ей ЛАХ — см. рис. 5.10, исключая пунктир, где изображена ЛАХ представляющая один полупериод АФЧХ

т. е. изображена та часть которая содержит информацию, необходимую для построения всей (см. § 5.2).

Рис. 5.10

3. Дополним кривую пунктиром, как это показано на рис. 5.10. Полученная таким образом новая ЛАХ описывает такую непрерывную систему, переходный процесс которой имеет форму огибающей процесса протекающего в системе с частотной характеристикой (см. § 2.3, замечание 2.3.2).

Если ЛАХ удастся придать форму — желаемой частотной характеристики [1, 12], тогда это удастся сделать и по отношению к . В результате чего образуется соответствующая полупериоду, представленному кривой на интервале , ковая импульсная система [ее ЛАХ — огибающая переходного процесса которой примет форму желаемого переходного процесса (что и требуется от синтезируемой импульсной системы). Но такого результата можно добиться, если среднечастотная часть желаемой частотной характеристики включающей частоту среза соерж, умещается в интервале Этим ограничивается время переходного процесса и перерегулирование возможного желаемого переходного пронесся импульсной системы с заданным периодом дискретности (о связи см. в [1]).

Таким образом, на интервале в случае, если она там поместилась, считаем логарифмическим представлением первого полупериода АФЧХ

4. Перестраиваем на интервале ) (см. исключая пунктир) в ЛАПЧХ, соответственно

Вычтем . Получим ЛАПЧХ последовательного корректирующего контура аппроксимируя которую отрезками прямых с наклонами, кратными запишем сначала аналитическое выражение -передаточной, а затем, с помощью формулы (5.14) и -передаточной функции последовательного корректирующего контура {см. § 5.2). Синтез в этом случае нужно осуществлять в соответствии с рис. 5.2.

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Проведение подобного синтеза при сильном нарушении условий (5.1), (5.2) бессмысленно для импульсных систем прежде всего в силу того, что использование -передаточной функции существенно искажает описание работы импульсной системы (см. § 3.1, 3.2, вывод 4 из примера 3.2, § 5.1). Бессмысленно оно при сильном нарушении условий (5.1), (5.2) и для чисто импульсных систем, хотя описывает работу таких систем точно.

Дело в том, что выделение одного периода частотной характеристики и обеспечение ему (если это удается) желаемой формы гарантирует желаемый вид только огибающей импульсного переходного процесса. Но огибающая и импульсный переходный процесс содержат достаточное количество информации друг о друге, если огибающая не сильно меняется за время (это имеет место, если импульсы заполняют огибающую сравнительно плотно). О несоблюдении именно этого условия и говорит сильное нарушение ограничений (5.1), (5.2). Степень несоблюдения условий поможет оценить следующее прикидочное рассуждение.

При сильном нарушении ограничений (5.1), (5.2) один период частотной характеристики имеет очень высокие и крутые спады на частотах (см. рис. 2.6 или при еще большем нарушении этих ограничений — рис. 5.11). Из метода трапецеидальных частотных характеристик [1] известно, что переходные процессы, соответствующие в виде единичных трапеций (см. рис. 5.12 при ), тем более колебательны, чем ближе к единице, и заканчиваются все эти процессы примерно за 10 с.

Здесь — вещественная частотная характеристика. .

Если то время переходного процесса равно секунд.

Из рис. 5.11 видно, что в состав вещественной частотной характеристики должна входить трапеция с параметрами, близкими к , т. е. в данном случае следует ожидать наличия сильно колебательной огибающей, продолжительность которой составляет примерно .

Таким образом, в пределах этой сильно колебательной огибающей импульсного переходного процесса окажутся всего три импульса. Следовательно, сгибающая очень мало информативна по отношению к импульсному процессу, и вести синтез импульсной системы, опираясь на огибающую, не имеет смысла.

Для устранения такой сильной колебательности требуется сложный корректирующий контур, с помощью которого все равно не удалось бы решить все проблемы качества огибающей переходного процесса. Дело в том, что максимальная допустимая полоса пропускания желаемой системы, в пределах которой можно выбирать ограничена значением — очень малым при сильном нарушении условий (5.1), (5.2), и синтез нужно проводить, используя какой-то другой подход.

Утешительным, правда, является тот факт, что разработчика как правило, не интересует система, у которой огибающая является слабо информативной относительно импульсного процесса, поэтому появление импульсных систем с сильным нарушением условий теореремы Котельникова, представляющих САР с микроЭВМ, мало вероятно.

Расчет, когда условия теоремы Котельникова выполняются с большим запасом. С учетом сказанного в конце предыдущего параграфа, используя хорошие микроЭВМ, при правильном выборе как правило, имеем дело со случаем, когда [см. (5.16)] во всем существенном диапазоне частот непрерывной части системы, так как частота (см. рис. 5.10) отодвигается сильно направо.

В силу справедливости соотношения (5.16) псевдоЛАХ , соответствующая непрерывной части разомкнутой системы совпадает с ее обычной ЛАХ (см. штрихпунктир на рис. 5.13, где принято, что . А псевдоЛАХ, соответствующая дискретной части разомкнутой системы, представленная z-передаточной функцией , легко может быть построена [29, 28]. Действительно, по выражению с помощью замены

(формула (5.17) вытекает из формулы (5.14)), получим выражение исходя из которого, по правилам построения обычных опираясь на выражение строим (см. § 5.2).

Эти псевдоЛАХ оказываются функциями относительной псевдочастоты в силу того, что (см. (5.11)).

Рис. 5.13

Однако, согласно формуле (5.15), поэтому, чтобы стали функциями абсолютной псевдочастоты, при переходе от w — передаточной функции к псевдоАФЧХ следует делать замену

Пусть, например, z-передаточная функция, описывающая работу ЭВМ, равна

это означает, что ЭВМ реализует работу интегратора (см. § 5.4)), огда

Соответствующая последнему выражению псевдоЛАХ изображена на рис. 5.13 пунктиром (напоминаем, что здесь . Из рисунка видно, что на значительном диапазоне частот совпадает с ЛАХ интегратора, работу которого ЭВМ здесь реализует.

ПсевдоЛАХ неизменяемой части разомкнутой системы с ЦВМ (см. рис. 5.5) практически совпадает с ЛАХ непрерывной системы которую система с ЦВМ здесь представляет.

Пусть построенная по методике из теории непрерывных систем [1, 12, 28, 29] желаемая ЛАХ имеет вид и, поскольку во всем диапазоне существенных частот , имеем .

В связи с чем псевдоЛАХ последовательного корректирующего контура имеет вид, показанный на рис. 5.13, а соответствующая ему псевдоАФЧХ (см. формулу (5.18))

Тогда (см. (5.18))

так как .

Согласно (5.14),

Такая информация о корректирующем контуре позволяет проводить синтез в соответствии с рис. 5.2. Поэтому -передаточная функция описывающая работу ЭВМ в синтезированной системе (с учетом того, что ЭВМ уже в исходной системе рис. 5.5 реализует -передаточную функцию ):

Замечание 5.3.1. Понятно, что рис. 5.13 без пунктира и штрихпунктира до частот порядка вполне мог бы служить иллюстрацией при синтезе по методике § 5.1.1 для системы из только что рассмотренного примера.

Таким образом,

Хотя может и показаться, что в данном случае при синтезе нужно было бы учитывать и фазовую характеристику, так как есть звено чистого запаздывания. Однако без этого можно обойтись, поскольку одно и то же звено чистого запаздывания одинаково присутствует и в исходной, и в синтезированной системах.