Глава 6. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

Поведение импульсных динамических систем под влиянием случайных воздействий представляет большой практический интерес при исследовании первых в неидеальных условиях реальной эксплуатации. В этой связи необходимо рассмотреть некоторые из важнейших разделов статистической динамики импульсных систем.

6.1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

Пусть — импульсный случайный процесс, тогда его основные в рамках корреляционной теории характеристики — среднее значениети и корреляционная функция .

так как видно, что

Здесь — среднее значение непрерывного случайного процесса , — символ операции математического ожидания [9].

где и — центрированный случайный импульсный процесс.

так как

Здесь — автокорреляционная функция непрерывного случайного процесса

Из (6.1) и (6.2) следует, что характеристики — одно мерная и двумерная совокупности дискретных значений соответственно; выражение описывает двумерную совокупность дельта-функций:

которая, как и в случае модели (1.2), модулирована не по амплитуде а по площади.

Если — процесс стационарный, то

Пусть , тогда аналогично тому, как были получены (2.1) (2.2), имеем

где — среднее значение и корреляционная функция стационарного непрерывного процесса , — сдвиг по времени.

Чисто формальное использование представления импульсного сигнала в форме (1.2) при получении статистических характеристик по алгоритмам теории непрерывных случайных процессов [9] может привести к некоторым неожиданностям и даже к неверным результатам в случае, когда в силу справедливости эргодического свойства сигнала и вместо осреднения по совокупности осуществляется осреднение по времени:

где — интервал осреднения по времени.

Согласно (6.6), усреднять нужно на непрерывном интервале, что в данном случае неверно, так как полезная информация о сигнале содержится только в дискретиых отсчетах внутри интервала — на числе этих отсчетов и нужно осреднять:

Верный результат удалось получить после того, как над импульсным сигналом была выполнена операция, отвечающая физической сути преобразования, соответствующего тому, которое осуществляется над непрерывным сигналом в теории непрерывных случайных сигналов.

Аналогично для корреляционной функции

верхний предел суммирования и делитель перед суммой изменены из-за того, что в силу ограниченности интервала усреднения для последних I значений сигнала и вторые сомножители при подстановке в формулу (6.8) отсутствуют, таким образом, фактический интервал усреднения при вычислении корреляционной функции уменьшается на — он равен .

Из сравнения формул (6.7), (6.8) и (6.4), (6.5) следует, что первые не описывают функции , а дают возможность вычислять соответствующие значения этих функций.

В теории непрерывных систем известен ряд формул, связывающих, например, средние значения и корреляционные функции вход ного и выходного случайных процессов динамической системы [93. Указанные формулы очень удобно физически интерпретируются, если статистические характеристики сигналов рассматривать как обычные сигналы, имеющие форму этих характеристик: .

По аналогии в теории импульсных систем достаточно ввести в рассмотрение импульсные функции

где — выражения, определяемые (6.7), (6.8).

В теории непрерывных стационарных эргодических случайных процессов большую прикладную роль играет — преобразование Фурье корреляционной функции — спектральная плотность. В этой связи рассмотрим — преобразование Фурье, соот ветствующее корреляционной функции импульсного сигнала, — спектральную плотность стационарного случайного импульсного сигнала:

{см. (6.5), откуда видно, что является функцией дискретных значений переменной ).

Далее

формулу (6.9) можно представить следующим образом:

Действительно, так как выражение под суммами не зависит от индекса суммирования первой суммы, то

В (6.9) в силу справедливости эргодического свойства

где — произвольно выбранный момент времени, он может быть, в частности, равен в связи с чем (6.10) примет вид

Предполагается, что здесь производится обработка не текущих сигналов, а совокупности их полученных ранее записей, которые имеют отличные от нуля значения и после и до рассматриваемого момента времен.

Во второй сумме выполним замену переменной

Тогда эта сумма представляется следующим образом:

где

— преобразование Фурье импульсного сигнала и (см., например (6.9)). Выражение для примет вид

Обозначив , нетрудно заметить, что, согласно (6.9), формула, объединенная суммой, при есть преобразование Фурье импульсного сигнала и переменной , т. е.

где черта вверху означает выражение, комплексно-сопряженное выражению без черты. Поэтому

В анализе непрерывных линейных стационарных систем II] часто пользуются формальным правилом

Распространив его на случай импульсных систем, получим

— двустороннее преобразование Лапласа от дискретной функции (поскольку ) — преобразование Фурье этой функция — см. формулу (6.9)), но тогда двустороннее дискретное преобразование Лапласа от т. Поэтому

— двустороннее z-преобразование, соответствующее . А для z-преобразования в § 2.5 выведена формула обращения (2.35), в соответствии с которой имеем

(с учетом того, что абсцисса сходимости функции ) равня нулю).

Поскольку на основании (6.14) получим

Вычисление интеграла (6.14) по теореме вычетов [30] не вызывает принципиальных затруднений, однако выполним в нем замену переменных . При этой замене следовательно, , откуда .

Вспомним также, что (см. (6.13)), а также то, что окружности единичного радиуса плоскости соответствует любой отрезок мнимой оси плоскости s длиной , например, отрезок Тогда

Выполним еще замену переменной (см. ):

Для дисперсии [см. (6.15)]:

Если функция представима в виде

то значение интеграла в правой части формулы (6.17)

— выражается через значения коэффициентов полиномов с помощью определителя Мизеса для уравнения

В частности,

Поскольку [см. (2.28)], (5.17)], . Из § 5.2 известно, что отрезок мнимой оси до плоскости s отображается в мнимую ось плоскости

[см. (5.11 и 5.15)], поэтому

т. е.

Выполнив замену (6.20) в функции , получим

и если функция имеет вид (6.18), то представляет собой дробно-рациональное выражение.

Продифференцировав левую и правую части выражения (6.20), имеем

с учетом формулы (6.20)

откуда

Имея в виду то, что при переменная [см. формулу (5.15)], а также выражения (6.12), (6.21), (6.22), с помощью замены переменных (6.20) в формуле (6.16) получим зависимость

откуда

Таким образом, спектральная плотность в форме удобна тем, что дисперсию дискретного случайного процесса в соответствии с (6.24) можно найти с помощью таблиц итегралов, используемых при исследовании непрерывных случайных процессов [12], так как подынтегральное выражение в (6.24) приводится к требуемому для этого виду.