5.4. РЕАЛИЗАЦИЯ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО КОНТУРА ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

Реализация работы ЭВМ, если ее z-передаточная функция известна. Передаточная функция корректирующего контура, найденная в § 5.3, описывает его как чисто импульсное устройство, поэтому использовать его следует в соответствии со схемой, приведеной на рис. 5.2. Реализация коррекции в этом случае сводится к реализации работы ЭВМ в скорректированной системе в соответствии с найденной -передаточной функцией отчего методы реализации называют иногда методами программирования. обычно имеет вид дробно-рационального выражения

[см.

При составлении программы бывает необходимо ее оптимизировать (по минимуму объема памяти, числа операций умножения и т. д.). Для проведения этой и подобных работ удобным оказывается представлять в форме структурной схемы. Существует несколько возможных структурных схем, соответствующих заданной например параллельная, последовательная, но метод получения обеих указанных схем связан с необходимостью отыскания корней полинома знаменателя и числителя, что при высоких порядках полиномов вызывает значительные трудности. В связи с этим в качестве примера рассмотрим метод получения схемы так называемой прямой формы два, название которой возникло вследствие того, что для ее составления не требуется предварительно отыскивать корни полинома числителя или знаменателя.

В выражении (5.22) вынесем свободный член знаменателя за скобку. Тогда

где

Представим так:

Рассмотрим структуру, представленную на рис. 5.14. Здесь — линия задержки на время — безынерционное устройство с коэффициентом передачи

Рис. 5.14

Рис. 5.15

Поскольку работа линии задержки (ЛЗ) сигнала на описывается уравнением преобразование Лапласа этого уравнения при нулевых начальных условиях с учетом теоремы запаздывания имеет вид

а передаточная функция

Выполним в последнем выражении замену переменной на .

Получим

Тогда, руководствуясь правилами структурных преобразований (см. § 3.2), нетрудно заметить, что структуре (рис. 5.14) соответствует z-передаточная функция . Структуре, изображенной на рис. 5.15 и представляющей собой замкнутый контур, в цепи обратной связи которого находится последовательное соединение и параллельного соединения соответствует z-передаточная функция

Нетрудно проверить, что продолжая по аналогии с рассмотренным алгоритмом цепочку соединений рис. 5.15 вниз раз, получим устройство с z-передаточной функцией [см. (5.23)].

Рассмотрим структуру рис. 5.16. Ей соответствует -передаточная функция . Структуре на рис. 5.17 — z-передаточная функция

Продолжая цепочку соединений рис. 5.17 вниз раз по тому же алгоритму, получим устройство, имеющее z-передаточную функцию

Теперь становится ясным, что устройство, имеющее z-передаточную функцию которое должно представлять собой последовательное соединение устройств, реализующих -передаточные функции , может быть представлено схемой на рис. 5.18.

Рис. 5.16

Рис. 5.17

Сам же алгоритм, отвечающий программе, реализующей работу ЦВМ в соответствии с z-передаточной функцией (5.22), легко может быть из последней получен. Действительно, согласно рис. 5.5, где вместо должно теперь стоять

откуда

Выполнив операцию обратного z-преобразования над левой и правой частью этого выражения, получим описание работы ЭВМ в области времени

откуда легко записывается искомый рекуррентный алгоритм формирования текущего значения выходной координаты ЭВМ по предыдущим значениям ее выходной и предыдущим и текущему значениям входной координат:

Определение z-передаточной функции ЭВМ, реализующей работу заданной непрерывной системы. Передаточная функция , найденная в § 5.1 [см. (5.21)], описывает корректирующий контур как непрерывное устройство. Поэтому его имеет смысл использовать, как уже говорилось, в соответствии со схемой (см. рис. 5.3) и реализовать, например, если это позволяет конструкция, в виде электрических RC схем, руководствуясь методикой теории непрерывных систем.

Рис. 5.18

Однако, поскольку в состав исследуемой системы (см. рис 5.1 или 5.5) входит ЭВМ, возни кает идея использовать для приближенной реализации требуемой коррекции эту ЭВМ, т. е. и в данном случае реализовать коррекцию по схеме рис. 5.2. Программа ЭВМ, осуществляющей такую коррекцию, легко составляется (см. § 5.4), если известна z-передаточная функция описывающая работу ЭВМ, выполняющей операции непрерывного устройства с передаточной функцией Найдем эту z-nepeдаточную функцию.

Очевидным может показаться, что искомая -передаточная функция есть -преобразование, соответствующее

Справедливость этого предположения легко проконтролировать, сравнив переходную функцию системы и переходную функцию системы Пусть имеет вид (5.21) (см. рис. 5.13 и 5.19). Тогда

— см. рис. 5.20.

Если представляет собой сложную функцию от s, то получить соответствующее ей -преобразование — задача, по крайней мере, громоздкая. В связи с чем производились попытки разработать более удобный приближенный способ перехода от преобразования Лапласа к z-преобразованию. Одна из них основана на понятии так называемых z-форм.

В основу понятия z-формы положено соотношение (2.28), связывающее переменные :

которое после логарифмирования принимает вид откуда

Рис. 5.19

Пользуясь заменой переменных (5.25) [т. е. заменой (5.24)], от ) перейдем к функции переменной .

Эта функция не является -преобразованием соответствующим функции Ведь -преобразование связано заменой переменных (5.24), [а значит, и (5.25)] с дискретным, а не с обычным преобразованием Лапласа функции [см. (2.21)]. Но тот факт, что замена (5.25) превращала функцию от переменной s в функцию от , позволял надеяться на то, что функции окажутся близки.

Рис. 5.20

Функция однако, не удобна для практического использования, так как она трансцендентна. В такой класс она перешла из класса дробно-рациональных функций в силу трансцендентности соотношения (5.25). Известны способы представления в виде дробно-рационального ряда [13], например

В конкретных расчетах ряд (5.26) усекается, но небольшие погрешности в описании могут привести к значительным методическим и шумовым ошибкам в представлении переменной особенно при так как s в области комплексной переменной представляет операцию дифференцирования в вещественной области [28]. Поэтому выражение

где, как правило, , выносом из полинома знаменателя представляют как функцию переменной

Согласно выражениям (5.25), (5.26),

Усечение ряда в формуле (5.28) приводит к значительно менее существенным погрешностям, так как представляет операцию интегрирования.

Выполним деление единицы на дробно-рациональное выражение знаменателя соотношения (5.28):

Таким образом,

Ограничившись первым членом ряда (5.29), получим первую z-форму:

С учетом формулы (5.29)

Воспользовавшись только двумя первыми членами, имеем вторую z-форму:

Поступая аналогичным образом, получим остальные -формы (см. табл. 5.1 [141).

Таблица 5.1

Если окажется, что в , то в выражении (5.27) появятся члены с положительными степенями . В этом случае помимо формул, приведенных в табл. 5.1, потребуются еще и такие:

[см. первый член представления (5.26) и выражение (5.25)], или

[см, (3.26) и пример 3.4].

Таким образом, воспользовавшись в (5.27) -формами, получим функцию от z приближающую .

В рассматриваемом примере, представив

выполним замену , соответствующей z-формой, тогда

Здесь — период дискретности (такт работы ЦВМ). Чтобы форма спектра непрерывного сигнала не исказилась при квантовании по времени, необходимо уместить характерную часть спектра непрерывного сигнала (в нашем случае (см. рис. 5.19 без пунктира) она расположена в диапазоне частот в половину периода дискретного спектра т. е.

Следовательно, тем более можно выбрать Из рис. 5.20 видно, что такой период дискретности с большим запасом должен был бы обеспечивать достаточно точную передачу формы сигнала . Для этого случая

Если подать на вход этого устройства импульсный единичный ступенчатый сигнал , z-преобразование которого то значения сигнала должны, по нашему предположению, быть близки к соответствующим значениям (в моменты времени, кратные ). Проверим справедливость нашего предположения аналитически:

На начальных тактах получилось полное расхождение с ожидаемым результатом, причиной которого является нарушение при выборе условия (2.20) или (5.2), следующего из теоремы Котельникова. Дело в том, что в данном случае (как это видно из рис. 5.19, без пунктира) не является полосой пропускания системы . Полоса пропускания корректирующего контура бесконечна, и любое расширение (уменьшение ) к желаемому результату не приведет.

Рис. 5.21

Рис. 5.22

Не менее распространенным в непрерывной линейной теории является дважды интегрирующий корректирующий контур (см. рис. 5.21)

В соответствии с этой формулой составлена табл., а по ней построен график (рис. 5.22)

Далее теперь, воспользовавшись z-формами, имеем

Пусть . Выберем , тогда

Результаты расчета отмечены крестиками на рис. 5.22, откуда видно, что импульсный фильтр (5.35) хорошо выполняет работу исходного непрерывного фильтра, если с.

При выборе же , исходя из предположения, что (см. рис. 5.21),

Из расчета видно сильное расхождение результата с ожидаемыми значениями, что явилось следствием нарушения условия (5.2).

В связи с рассмотренными примерами следует считать, что если вместо корректирующего контура (рис. 5.19, без пунктира) воспользоваться корректирующим контуром

частотная характеристика которого только на очень высоких частотах отличается от требуемой (см. рис. 5.19, с пунктиром), то при выборе исходя из ЦВМ сможет реализовать его работу.

Однако осуществится это с огромным значением частоты дискретизации, необходимой для удовлетворительной передачи формы сигнала на его начальном участке.

Нетрудно заметить, что, основываясь на материале § 5.3, можно предположить еще одну приближенную процедуру перехода от при выполнении условия (5.2) с большим запасом:

(см. формулу (5.19) с учетом замечания 5.1).

В примере из § 5.3 идея (5.36) учитывается автоматически (см. высокочастотную часть отмеченную на рис. 5 13 волнистой линией).

Результат (5.35) основывается на использовании -форм приближенном способе перехода от переменной s к переменной , следовательно, это выражение представляет приближенный вариант перехода к дискретной реализации корректирующего контура рис. 5.21. Попытаемся отыскать более точный вариант такого перехода. Если верно предположение (5.23), то к искомому варианту придем, найдя точное -преобразование, соответствующее :

если иметь в виду, что .

Теперь, поскольку считаем, что имеем

Аналитический результат (кружочки на рис. 5.22) неожиданен — он сильно отличается и от результата, полученного с помощью (5.36), и от точного значения (см. рис. 5.22). Для осмысливания этого факта вычислим ИПФ k соответствующую системе рис. 5.21, опираясь на связь . С учетом (5.34), имеем . По этому соотношению составляем таблицу.

Рис. 5.23

Далее строим график (рис. 5.23). Теперь поделим числитель выражения (5.38) на его знаменатель:

Отсюда видно, что — действительно дискретные значения в моменты (см. крестики на рис. 5.23), т. е. это что и отвечает определению -передаточной функции импульсной системы (см. § 3.1).

Теперь из (5.39) и (5.40) нетрудно заметить, что сигнал (5.39) (кружочки на рис. 5.23) сформирован путем сложения смещенных на сигналов (5.40), т. е. сигнал (5.39) — это не уточненная дискретная информация о реакции системы рис. 5.21 на сигнал [чего мы ожидали на основе результата (5.35)], а на сигнал, представляющий собой совокупность смещенных дельта-функций, которой в импульсных системах представляется сигнал ИД. Другими словами, модель (5.38) отражает результат воздействия на систему рис. 5.21 совокупности импульсов, а не информации, которую эти импульсы несут в своей огибающей. Но так ведь и должно быть в импульсных системах (см. пример 3.3).

Рис. 5.24

Рис. 5.25.

Странным это кажется в свете того, что в ситуации, отвечающей формуле (5.35), соответствующей, по нашему пониманию, приближенному описанию ситуации, отвечающей формуле (5.38), модель реагирует на заключенную в тех импульсах информацию, а не на сами импульсы.

В действительности же обе модели реагируют на импульсы ввиду того, что обе описаны с помощью -передаточной функции и таким образом представляют собой идеализированные модели чисто импульсных устройств. Но WB (г) в случае (5.38) выбрана, очевидно, не в соответствии с решаемой задачей — неправильно. Ошибка явилась следствием неверного предположения (5.23). Механизм возникновения этой ошибочной точки зрения состоит в следующем. Поскольку непрерывную систему (см. рис. 5.24, без пунктира) хотим реализовать на ЭВМ, являющейся чисто импульсным устройством, а z-передаточная функция как раз и описывает рабо ту такого устройства, позволяя вычислять дискретный выходной сигнал

представляющий, как может показаться, дискретную информацию о сигнале у (см. фиктивный ключ на рис. 5.24). Но использование в формуле (5.41) функции означает необходимость постановки ключа и на входе исходной системы (см. рис. 5.25), т. е. использование дает дискретную информацию об — выходном сигнале совсем другой в сравнении с исходной системы.

Требуемую чисто импульсную систему можно получить из структурной схемы системы с дискретно кодированным и сразу же декодированным входом (рис. 5.26), которая по отношению к сигналам и приблизительно эквивалентна (точно она была бы эквивалентна в случае использования в ней идеального экстраполятора, тогда бы это была система с дискретно кодированным и сразу же идеально декодированным ) входом) схеме рис. 5.24, без пунктира; по отношению к сигналам и — эквивалентна схеме рис. 5.24, с пунктиром. В ее составе есть система, связывающая с сигналом и сигнал у (а не сигнал ).

Рис. 5.26

Она и является искомой чисто импульсной системой (пунктирный прямоугольник на рис. 5.26). Ее работа описывается точно -передаточной функцией

в связи с чем в некоторых литературных источниках называется приведенной передаточной функцией [28].

По своей сути — приближенная (из-за использования экстраполятора нулевого порядка вместо идеального) z-передаточная функция непрерывной системы , приближающая — точную z-передаточную функцию непрерывной системы W (s). по своей сути есть -передаточная функция им пульсной системы рис. 5.25, образованной из непрерывной системы рис. 5.24 постановкой на ее входе ключа.

Таким образом, устройство с z-передаточной функцией достаточно хорошо приближенно представляет непрерывную систему , но его роль в системе с ЭВМ возлагается на ЭВМ (пусть ее z-передаточная функция равна ) с экстраполятором, поэтому

Однако

Полученный результат, однако, не следует воспринимать как рекомендацию не учитывать экстраполятор в структурной схеме рис. 5.5, так как этот результат иллюстрирует лишь то, как экстраполятор передает информацию в дискретные моменты времени, кратные . Схема же рис. 5.5 отражает еще и тот факт, что экстраполятор преобразует импульсный сигнал в непрерывный.

Аналогичным образом нетрудно убедиться, что единице равны z-преобразования, соответствующие и всем другим полиномиальным экстраполяторам, а следовательно, и идеальному экстраполятору. Например, для экстраполятора первого порядка [см. формулу (3.38)]

С учетом этого .

Таким образом, истинным утверждением о z-передаточной функции вычислителя WB (г), представляющего работу непрерывной системы W (s). является не (5.23), а следующее:

или с учетом формулы (5.42)

Тогда для рассматриваемого примера рис. 5.21, формула (5.33)

Переходный процесс теперь точно совпадает со значениями системы рис. 5.21 в дискретные моменты времени, кратные (см. рис. 5.22 и табл. 5.2).

Если, например, ЭВМ должна реализовать интегратор, то

(см. выражение в примере рис. 5.13 из § 5.3).

С позиций положения (5.43) или (5.44) легко осмысливается причина близости к истинному результату (5.35): чисто нмпульсная система полученная с помощью -форм, приближает ,

(см. § 5.4). т. е. она отвечает точному переходу к -передаточноп функции непрерывной системы Таким образом, соответствует (а не , как нам казалось в соответствии с положением (5.23) вначале). Более того,

поэтому представляя , близка к одной из .

С позиций положения (5.42) становится понятным и следующее. Факт совпадения на низких частотах псевдоЛАХ (см., например, рис. 5.13) с обычной ЛАХ при соблюдении условия (5.2) с большим запасом говорит о том, что z-передаточная функция, отвечающая представляет в этих условиях именно (а не ), так как именно она обладает свойством переходить в при

Пусть представляет собой последовательное соединение двух частей

Построив ЛАХ , складывая их и считая затем эту сумму характеристикой соединения (согласно методике, изложенной в § 5.3), тем самым как бы признаем факт:

что, конечно, неверно, так как

Действительно, если, например,

то

откуда видно, что

Однако операция (5.45) выполняется в условиях § 5.3, т. е. при выполнении условия (5.2) с большим запасом, когда можно считать, что в этом случае

в чем нетрудно убедиться с помощью правила Лопиталя раскрытия неопределенности, найдя вторые производные но полиномов числителей и полиномов знаменателей выражении (5 46), (5 47), имея в виду, что

Аналогичным образом легко показать, что

Таким образом, выражение (5.45) справедливо при следовательно, там, где псевдоЛАХ хорошо представимы обычными ЛАХ, правила структурных преобразований непрерывных систем, описанных своими и обычными и -передаточными функциями, совпадают.