2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА СИГНАЛА ПО ЕГО ОБЫЧНОМУ ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ЛАПЛАСА

Работу ключа при условии, когда справедлива формула (1.2), рассматривают иногда как работу модулятора М, в котором входной сигнал u(t) модулирует по площади сигнал , представляющий собой периодическую (с периодом ) последовательность дельта-функций единичной площади (рис. 2.1). (Сигнал ) является опорным сигналом модулятора.) Таким образом,

Так как r(t) — линейная комбинация смещенных дельта-функций, то ей соответствует преобразование Лапласа , абсцисса сходимости которой равна нулю:

Рис. 2.1

С учетом теоремы запаздывания получена здесь в незамкнутом математическом виде — в виде суммы бесконечного ряда, но этот ряд является геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем Поэтому можно представить в замкнутом виде:

Выполним над левой и правой частями (2.3) преобразование Лапласа

С учетом (2.1) и теоремы свертки в области комплексной переменной имеем

где

— абсцисса сходимости произведения — абсциссы сходимости соответственно функций . В (2.6) зафиксировано, что это соотношение справедливо лишь для тех значений s, вещественная часть которых больше

Рис. 2.2

Из (2.6) с учетом того, что существует [см. (2.5)], следует: дискретное преобразование Лапласа имеет место для всех таких функций ), для которых существует обычное преобразование Лапласа

Замечание 2.2.1. Поскольку нас интересует главным образом исследование процессов в устойчивых системах, считаем, что функция описывает сходящийся процесс, и поэтому ее абсцисса сходимости .

С учетом (2.4), (2.5), (2.7) выражение (2.6) примет вид

Соотношение (2.8), интегрирование в котором ведется вдоль мнимой оси плоскости независимой комплексной переменной (рис. 2.2), можно выразить либо через интеграл по замкнутому контуру образованному путем добавления к мнимой оси дуги бесконечно большого радиуса, находящейся в левой полуплоскости (см. пунктир на рис. 2.2):

либо через интеграл по замкнутому контуру , образованному добавлением к мнимой оси дуги бесконечно большого радиуса, находящейся в правой полуплоскости (см. штрихпунктир на рис. 2.2):

Замечание 2.2.2. Интеграл по дуге бесконечно большого радиуса равен нулю, еслн бесконечность представляет собой для подынтегрального выражения ноль, по крайней мере второго порядка [4, с. 207].

Ниже будет показано, что в нашем случае бесконечность является нулем бесконечного порядка. Поэтому тем более

Представив через интеграл по замкнутому контуру, имеем возможность вычислить по теореме Коши как сумму вычетов подынтегрального выражения в его полюсах, расположенных внутри контура интегрирования, который не должен содержать на себе особенностей подынтегрального выражения. Из (2.9), (2.10) соответственно имеем

где — полюсы подынтегрального выражения в левой полуплоскости (ЛПП) плоскости — полюсы подынтегрального выражения в правой полуплоскости (ППП) плоскости s, так как контур охватывает всю ЛПП, а контур — всю ППП плоскости s. Знак минус перед суммой в (2.12) следствие того, что контур обходится по часовой стрелке (в отрицательном направлении).

Полюсами подынтегрального выражения являются корни уравнения

(нули функции из знаменателя подынтегрального выражения).

Так как единицу на плоскости К представляет вектор , то уравнение (2.13) приводим к виду

Следовательно, откуда корни (2.13) равны:

где — постоянное число, имеющее размерность круговой частоты. Оно играет далее роль шага на оси частот. Этот шагсоответ ствует шагу квантования по оси времени.

Рассмотрев выражение (2.14), нетрудно заметить следующее.

Следствие 1. Подынтегральное выражение имеет из-за функции в его знаменателе бесконечное число полюсов, и все они простые.

Следствие 2. Если , то поскольку s в (2.9)...(2.13) таково, что , все полюсы подынтегрального выражения из-за его функции в знаменателе оказываются расположенными только в ППП плоскости s.

Следствие 3. Так как — корнн функции , то можно записать:

Отсюда видно, что действительно является для подынтегрального выражения нулем бесконечного порядка, т. е. представление (2.8) в форме (2.9), (2.10) справедливо (см. замечание 2.2).

Функция как правило, представляет собой дробно-рациональное выражение , где — полиномы соответственно порядка . Следовательно, полюсами подынтегрального выражения являются еще и полюсы функции (нули полинома ), которые все расположены в ЛПП плоскости s, поскольку (см. замечание 2.1).

Используя последнее замечание и следствие 2 из (2.14), можно провести следующие преобразования:

а) выражение (2.11):

где — полюсы функции так как в ЛПП расположены только полюсы и только они;

б) выражение (2.12):

где — нули функции так как в ППП расположены полюсы подынтегрального выражения, которые определяются его знаменателем, и только они.

Из теории функций комплексной переменной 14, с. 2061 известно, что если функция представляет собой дробно-рациональное выражение с простыми полюсами, то вычеты в ее полюсах вычисляются по формуле

где

Этот факт как раз имеет место для (2.17) [см. следствие 1 из (2.14)], причем здесь

Поэтому

Но с учетом (2.15) имеем что на плоскости изображается точкой . Поэтому в силу чего с учетом (2.14) выражение (2.17) принимает вид

Дискретное преобразование Лапласа функции можно определить по (2.18) по ее обычному преобразованию Лапласа. Но (2.18), как и (2.2), обладает недостатком — она непосредственно дает результат в незамкнутом математическом виде (см. пример 2.1). Формулу, лишенную этого недостатка, легко получить из (2.16):

Для вычисления дискретного преобразования Лапласа конкретных функций используется (2.19), а (2.2), (2.18) применяются обычно при исследовании свойств дискретного преобразования Лапласа.