6.6. Стационарный режим функционирования системы обслуживания (основные понятия и соотношения)

В теории массового обслуживания и ее приложениях основное внимание уделяется анализу стационарных режимов функционирования систем обслуживания.

Математическая модель стационарного режима функционирования любой системы обслуживания, в предположении его существования, формально является предельным случаем ее общей математической модели. При стандартных предположениях относительно исходного процесса массового обслуживания эта модель представляет собой задачу Коши для соответствующей системы уравнений Колмогорова и является частным случаем математической модели процессов гибели — размножения.

Базируясь на результатах анализа стационарных режимов процессов гибели — размножения (см. 5.4), проведем анализ стационарного режима функционирования системы обслуживания с ожиданием как наиболее общей. Согласно (6.16), (6.17), для стационарного режима функционирования имеем

В стационарном режиме функционирования изучаемая система также меняет свое состояние случайным образом, но вероятности состояний уже не зависят от текущего времени. Каждая из них, являясь постоянной величиной, характеризует относительное время пребывания системы в данном состоянии.

Из первого уравнения системы (6.19) находим

где величина

определяет среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одной заявки, так как интенсивность простейшего потока определяет среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания в единицу времени, а величина обратная интенсивности обслуживания численно равна среднему времени обслуживания одной заявки.

Эту величину называют приведенной плотностью потока заявок.

Последовательно разрешив каждое из уравнений системы (6.19) относительно и подставив в полученные равенства выражения находим

Точно так же

где величину

равную отношению среднего времени обслуживания одной заявки к среднему времени ожидания, называют приведенной плотностью потока ухода заявок из очереди. Подставив (6.21), (6.22) в последнее уравнение системы (6.19), находим

Среднюю длину очереди определяют как математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди. Из (6.22), (6.24) находим

А так как некоторые требования, не дождавшись обслуживания, уходят из очереди с интенсивностью и, то без обслуживания систему покидает в среднем заявок в единицу времени. Значит, из поступивших заявок будет обслужено лишь . Можно найти относительную пропускную способность системы

и среднее число занятых каналов обслуживания, которое с учетом (6.20) и (6.23) можно записать в виде

Величина q определяемая равенством (6.26), характеризует вероятность того, что заявка, поступившая в систему обслуживания, будет обслужена. При отсутствии очереди т.е. все заявки обслуживаются.

Величина то, определяемая равенством (6.27), есть математическое ожидание числа занятых каналов обслуживания. Воспользовавшись тождеством (6.16) при и тем обстоятельством, что в состояниях все каналы обслуживания заняты, находим

или

где — число одинаковых параллельных каналов обслуживания в исходной системе, а вероятности находят по формулам (6.21), (6.24).

Значение , определяемое равенством (6.28), вычислить много проще, чем значение , определяемое формулой (6.25).

Поэтому, учитывая (6.26), (6.27), находим

Отметим, что, согласно (6.29), относительная пропускная способность q системы обслуживания равна отношению среднего числа занятых каналов к приведенной плотности потока заявок.