Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СОСТОЯНИЯВ этой главе продолжим изучение методов статистики случайных процессов, но от общих теоретических положений и иллюстративных примеров, приведенных в предыдущей главе, перейдем к задаче параметрической идентификации стохастических моделей состояния. Другими словами, будем рассматривать задачу оценивания неизвестных параметров, входящих в стохастическую модель состояния, по дискретным значениям его выборочных реализаций. 10.1. Еще раз о стохастической модели состоянияВ 7.1 стохастическая модель состояния, представляющая собой задачу Коши для системы стохастических дифференциальных уравнений и описывающая изменения состояния изучаемого объекта во времени, была получена как результат возмущения исходной детерминированной модели. Разумеется, существуют и другие пути, приводящие к стохастическим моделям. Однако в рамках этой книги мы не будем на них останавливаться и продолжим обсуждение, начатое в 7, поскольку именно этот подход чаще всего используют в технических приложениях. Пусть спроектирован некий объект и для описания изменений его состояния во времени разработана математическая модель, представляющая собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
где В процессе эксплуатации объекта эти параметры шумят, т.е. по тем или иным непрогнозируемым причинам отклоняются от своих номинальных значений. Так, например, для электронного устройства компонентами вектора параметров а могут являться значения емкостей, индуктивностей, сопротивлений и других характеристик его элементов, которые, например, могут зависеть от температуры, влажности и других внешних воздействий. Поэтому, повторив рассуждения, приведенные в 7.1, приходим к выводу, что реально наблюдаемые изменения состояния рассматриваемого объекта должны удовлетворять стохастической модели состояния
где Далее будем говорить, что детерминированная модель состояния (10.1) устойчива к возмущениям Следует отметить, что введение в детерминированную модель состояния изучаемого объекта случайных возмущений в виде белого шума может привести к нарушению ее устойчивости. Поясним сказанное на следующем примере. Пример 10.1. Рассмотрим простейшую детерминированную модель состояния
в которой В этой модели состояние изучаемого объекта Предположим, что случайным возмущениям подвержен параметр а. Тогда стохастическая модель состояния, соответствующая исходной детерминированной модели, имеет вид
где
где
а его дисперсия равна
Таким образом, если Заканчивая анализ, заметим, что рассмотренная стохастическая модель состояния сохраняет устойчивость при Заметим, что детерминированная модель состояния, рассмотренная в примере 10.1, будет обладать устойчивостью к возмущениям входящих в нее параметров, если процесс случайных возмущений ввести аддитивно:
Но в этом случае интерпретация этих возмущений будет уже иной и может быть связана не с зависимостью значения параметра а от случайных внешних воздействий, а с их непосредственным влиянием на скорость изменения состояния. В общем случае мы должны учитывать возможность как аддитивных, так и мультипликативных возмущений. Применительно к условиям примера 10.1 это означает необходимость рассмотрения следующей стохастической модели состояния:
где Детерминированные модели состояния, которые не обладают устойчивостью к возмущениям входящих в нее параметров, требуют специального рассмотрения, выходящего за рамки книги. Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся детерминированной моделью состояния (10.1), обладающей устойчивостью к малым возмущениям вектора параметров а. Термин „малые возмущения“ указывает на необходимость введения малого параметра [XIII] в стохастическую модель состояния, а точнее — в „механизм“ случайных возмущений исходной детерминированной модели состояния (10.1). В соответствии с этим приходим к следующей стохастической модели состояния:
где Естественно, что в каждом конкретном случае возмущения могут быть введены в исходную детерминированной модель состояния
где Теорема 10.1. Пусть
где
вектор-функция
а
где Доказательство этой теоремы приведено в книге А.Д. Вентцеля и М.И. Фрейндлина, которую мы рекомендуем для изучения не только в связи с рассматриваемой задачей. Заметим лишь, что с точностью до величин порядка
Если
с точностью до величин порядка
В этой модели
так как, согласно формулировке (10.5), свойствам винеровского процесса и математического ожидания, имеем
Таким образом, из (10.4) и (10.6) следует, что с точностью до величин порядка
Заметим, что задача Коши для определения математического ожидания случайного процесса, удовлетворяющего стохастической модели состояния (10.5), была получена в 7.2. Там же доказано, что ковариационная матрица
Таким образом, процесс случайных отклонений Процесс случайных отклонений зависит от
|
1 |
Оглавление
|