Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Приложение 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙПрименение теории вероятностей базируется на понятии случайного испытания, т.е. такого эксперимента или опыта, результаты которого нельзя предсказать исходя из условий его проведения. Отказываясь от прогнозирования результатов конкретного испытания, теория вероятностей выявляет и исследует закономерности, возникающие при многократном проведении случайного испытания. Отметим, что во многих практических ситуациях оценка серий испытаний куда более важна, нежели оценка одиночного испытания. Из сказанного следует, что при построении вероятностной модели исследователь всегда предполагает, что условия проведения одиночного испытания могут быть воспроизведены сколь угодно раз. Конкретные результаты проведенного случайного испытания называют его исходом. Эти результаты на практике могут, например, выражаться определенным сочетанием качественных факторов или значением измеряемых параметров. Важнейший принцип теории вероятностей состоит в статистической устойчивости частот возможных исходов испытаний. Под этим понимают то, что при неограниченном возрастании количества случайных испытаний доля испытаний, приведших к заданному исходу, в ряду всех проведенных испытаний стабилизируется около некоторого предельного числа. При построении вероятностной модели выделяют такой набор исходов данного случайного испытания, который удовлетворяет двум условиям. Во-первых, при проведении случайного испытания должен наступить один из исходов в выбранном наборе исходов. Во-вторых, все исходы в наборе являются взаимно исключающими, т.е. случайное испытание не должно завершаться одновременно двумя исходами. Исходы в таком наборе называют элементарными исходами или элементарными событиями, а всю их совокупность — пространством элементарных исходов (пространством элементарных событий). Пространство элементарных событий принято обозначать через Часто об элементарных событиях говорят как о неделимых, подразумевая под этим следующее. Если в результате проведения случайного испытания могут наступить исход А и исход В, то в качестве исходов можно рассмотреть следующие: АВ (оба исхода наступили одновременно), АВ (наступил исход В, а исход А не наступил) и т.д. В результате множество возможных исходов дробится, делится. Когда мы охватим все мыслимые варианты завершения случайного испытания и эти варианты не делятся в указанном выше смысле, то мы получим пространство элементарных исходов. Важнейшим в теории вероятностей является понятие события, которое отождествляют с некоторым подмножеством пространства элементарных событий. Наступление события в результате проведения случайного испытания равнозначно тому, что это испытание завершилось одним из элементарных исходов, входящим в указанное множество. Здесь событие — это совокупность возможных вариантов завершения случайного испытания, значимых с точки зрения исследователя. В некоторых случаях термину событие придают более содержательный смысл, связывал его с конкретными особенностями проводимых случайных испытаний. Тогда его отличают от соответствующего множества в пространстве элементарных исходов, которое в таком случае называют характеристическим множеством события. Поскольку события — это подмножества пространства элементарных событий, с ними можно выполнять операции теории множеств, однако в теории вероятностей эти операции называются по-другому. Пересечение множеств превращается в произведение событий, объединение множеств — в сумму событий, дополнение множества в пространстве элементарных событий — это противоположное событие, пустое множество обозначает невозможное событие, а все пространство элементарных событий есть достоверное событие. Уместен вопрос, всякое ли подмножество пространства элементарных событий можно рассматривать как событие. Это можно принять, если пространство элементарных событий конечно (т.е. содержит конечное число элементов). Однако в общем случае такой подход оказывается слишком общим и не приводит к содержательной теории. Значит, нужны понятия и условия, описывающие те подмножества, которые могут рассматриваться как события. Современная теория вероятностей строится, как и многие другие математические дисциплины, на системе аксиом. Впервые аксиоматическое построение теории вероятностей предложил А.Н. Колмогоров. Изложим кратко суть современного подхода в изложении теории вероятностей. Определение а) оно содержит множество б) если
Кратко можно сказать, что Определение Определение
в) для любых попарно не пересекающихся множеств
Эти определения вводят основные понятия теории вероятностей. Множество Определение Определение
Определение
В противном случае события А и В называют зависимыми. Определение В теории вероятностей измеримое пространство Особую роль играет случай, когда На множестве
где Борелевская Случайный вектор можно определить как
принадлежит А (является событием). В данном случае
и неравенство Изучение случайной величины Определение Случайные величины Для функции распределения
Определение Для дискретного случайного вектора
Определение
где
Функцию Плотность распределения
б) вероятность в) при соответствующей гладкости функции распределения
г) если
где Для дискретного случайного вектора
где Функцию распределения и плотность распределения случайного вектора Определение
где Определение
Пусть на вероятностном пространстве Определение
компонентами которого являются числа
Числа Пусть а) если
г) если
Понятие математического ожидания является одним из основополагающих в теории вероятностей. Рассматривая математическое ожидание части компонент случайного вектора с использованием их условной плотности распределения вероятностей относительно других компонент, приходим к понятию условного математического ожидания. Например, пусть
Значение условного математического ожидания Определение
Для случайной величины
Непосредственно из определения и свойств математического ожидания получаем свойства дисперсии:
г) если случайные величины д)
Определение
Если для случайных величин
Ковариация имеет следующие свойства:
в) если случайные величины
Определение
Две случайные величины Коэффициент корреляции двух скалярных случайных величин обладает двумя основными свойствами:
б) Определение
Итак, ковариационная матрица а) б) если Определение
где Для случайного вектора
т.е. характеристическая функция является изображением экспоненциального интегрального преобразования Фурье. Значит, в классе функций, интегрируемых с квадратом, существует взаимно однозначное соответствие между характеристическими функциями и плотностями распределения. Отметим некоторые свойства характеристической функции:
в) д) если е) если случайные величины
|
1 |
Оглавление
|