8.3. Стохастические модели состояния и уравнения Колмогорова

Равенства (8.18), (8.19) устанавливают связь между стохастической моделью состояния в форме и уравнениями Колмогорова при довольно жестких ограничениях. Поэтому возникает естественное желание ослабить эти ограничения и получить уравнения Колмогорова непосредственно исходя из стохастической модели состояния.

Пусть , — -мерный случайный процесс, удовлетворяющий стохастической модели состояния (8.14) в форме — его одномерная функция плотности вероятностей. Определим характеристическую функцию изучаемого случайного процесса

где и рассмотрим разность

Нас будет интересовать предел

Поэтому в дальнейших рассуждениях с целью упрощения выкладок будем пренебрегать слагаемыми порядка малости и писать:

Таким образом, при

Фиксируем Обозначим через плотность распределения случайного вектора а через — плотность распределения случайного вектора Тогда в силу независимости сечений от имеем

Таким образом,

А так как — -мерный винеровский процесс и

то плотность распределения для случайного вектора есть плотность -мерного нормального распределения [XVI] с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей и определяется равенством

Следовательно,

так как функция

является -мерной плотностью нормального распределения и, следовательно,

Используя полученный результат, заменяя экспоненту первыми двумя членами ее разложения по формуле Тейлора и отбрасывая слагаемые порядка малости получаем

Разделив правую и левую части полученного равенства на и перейдя к пределу при найдем

Для перехода от характеристической функции к функции плотности вероятностей достаточно воспользоваться формулой обращения экспоненциального интегрального преобразования Фурье:

В результате [XI] приходим к следующему уравнению относительно функции

Прежде чем приступать к анализу полученного уравнения (8.20), приведем без доказательства некоторые свойства -функции Дирака.

2) если функция непрерывна в то для любого

3) если функции непрерывны в то для любого

4) если функции непрерывны в то для любого

5) в интегралах, содержащих -функцию Дирака и ее производные, можно выполнить дифференцирование по параметру под знаком интеграла сколько угодно раз;

6) для частных производных -функции Дирака имеют место интегральные представления

Обратимся теперь к уравнению (8.20). Если координатная функция для векторной функции — скалярная функция, расположенная на пересечении строки и столбца матричной функции то (8.20) может быть представлено в следующем виде:

Таким образом, согласно свойствам -функции Дирака,

и мы приходим ко второму уравнению Колмогорова (8.7) при замене t на :

Если вспомнить, что координатная функция векторной функции — скалярная функция, расположенная на пересечении строки и j-го столбца матричной функции то из сопоставления полученного уравнения с (8.7) можно получить (8.18) и (8.19). Заметим также, что при выводе второго уравнения Колмогорова в данном случае не использовалось ограничение (8.10), а равенства (8.18) и (8.19) верны и при отсутствии непрерывности функций по

Равенства (8.18), (8.19) позволяют реализовать переход от стохастической модели состояния (8.14) к уравнениям Колмогорова (8.4), (8.7), которым удовлетворяет условная функция плотности вероятностей марковского процесса , определяемого стохастической моделью состояния (8.14). А так как уравнения Колмогорова (8.4), (8.7) полностью определяются матричной функцией и векторной функцией то равенства (8.18), (8.19) позволяют реализовать и обратный переход от уравнений Колмогорова к стохастическому дифференциальному уравнению.

Пример 8.3. Пусть второе уравнение Колмогорова для условной функции плотности вероятностей скалярного марковского процесса имеет следующий вид:

Согласно (8.7), имеем

Так как (см. 8.2) матрица диффузии неотрицательно определена, то уравнение Колмогорова определено лишь для значений и у, удовлетворяющих неравенству Таким образом, из соотношений (8.18), (8.19) следует, что

т.е. скалярный марковский процесс , удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению в форме Ито:

где , — скалярный винеровский процесс, выходящий из О. Знак перед радикалом в выражении для не играет роли в силу свойств случайного процесса,

Если векторная функция известна, то векторную функцию входящую в стохастическую модель состояния (8.14), можно однозначно определить из (8.18). Пусть известна матричная функция Рассмотрим (8.19) как нелинейную систему алгебраических уравнений относительно элементов матричной функции Нелинейная система (8.19) вследствие симметричности матричной функции (это следует из равенства ) имеет лишь линейно независимых уравнений и неизвестных . А так как при имеет место очевидное неравенство то в общем случае система (8.19) имеет бесконечное множество решений.

Итак, в общем случае переход от уравнений Колмогорова к стохастическим моделям состояния, определяющим исходные марковские процессы, не является однозначным. Более того, эта неоднозначность возможна и в скалярном случае, т.е. при (см. задачу 8.11, пример 8.3).

В практике научных исследований для матричной функции вводят, как правило, дополнительное ограничение

позволяющее преобразовать матричное уравнение (8.19) к стандартному виду

Тогда можно достаточно просто найти решение этого уравнения с помощью квадратного корня из квадратной симметрической матрицы, который определяется с точностью до знака:

Пример 8.4. Определим систему стохастических дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет двумерный марковский процесс

если условная функция плотности вероятностей этого случайного процесса удовлетворяет первому уравнению Колмогорова с известными параметрами

Согласно (8.4), имеем

Таким образом, матричная функция является симметрической и для завершения решения исходной задачи достаточно воспользоваться равенствами (8.18), (8.21):

и выписать систему стохастических дифференциальных уравнений, входящих в стохастическую модель состояния (8.14):

где — скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля.

В заключение отметим следующее.

1. При любых фиксированных значениях X и i матрица диффузии является симметрической и неотрицательно определенной. Поэтому с помощью ортогонального преобразования ее можно привести к диагональному виду, т.е. существует такая ортогональная матрица что

При этом для определенности полагаем

А так как равенство

эквивалентно равенству

то

Пример 8.5. Чтобы вычислить квадратный корень из неотрицательно определенной симметрической матрицы

находим ее собственные числа и соответствующие им единичные собственные векторы, которые образуют ортонормированную систему. Затем записываем матрицу

Таким образом,

2. Переход от уравнений Колмогорова к соответствующим системам стохастических дифференциальных уравнений в общем случае не является однозначным, но представляет интерес, так как эти системы определяют марковские случайные процессы, эквивалентные по своим вероятностным свойствам процессам, для которых заданы соответствующие уравнения Колмогорова.

3. Случайные процессы , называют независимыми случайными процессами (некоррелированными случайными процессами), если для любых случайные величины независимые (некоррелированные)