Книги А. Пуанкаре увлекают, учат, восхищают. В студенческие годы я испытал это при изучении книги «Лекции по небесной механике». Навсегда осталось впечатление о силе аналитического метода в науке, великолепно продемонстрированной знаменитым французским ученым.

Предлагаемое сочинение Пуанкаре представляет один из 27 (!) курсов по математической физике для студентов Сорбонны, прочитанного в 1899 году. Главная тема этой книги пришла из задач астрономии: дана вращающаяся масса гравитирующей жидкости; требуется выяснить те формы, которые она может принимать в состоянии относительного равновесия.

Теория фигур равновесия имеет давнюю и интересную историю. Вначале развитие шло медленно. До 1885 г. ученый мир знал только две фигуры относительного равновесия – сфероиды Маклорена и эллипсоиды Якоби (кольца и эллипсоиды Римана здесь не в счет). К первым, открытым в 1742 г., успели привыкнуть и принять за эталон, со вторыми, известными с 1834 г., хотя и смирились, но иногда пеняли им за дерзкое покушение на столь любимую еще древними вращательную симметрию. Инерция мышления умеет маскироваться! Но каково же было удивление, когда в 1884 г. русский математик А.М.Ляпунов и годом позднее, в 1885 г., А. Пуанкаре совершенно независимо друг от друга открывают не одну и не две, а целый букет новых фигур равновесия. Оказывается, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, хотя и счетное!) существуют неэллипсоидальные фигуры относительного равновесия, отдаленно напоминающие по форме то груши, то рубчатые дыни, волнистые патиссоны и другие фрукты и овощи. Вначале эти исследования ограничивались первым приближением, пренебрегая квадратами толщины возмущающего слоя, наложенного на жидкий эллипсоид. А вот безукоризненно строгое доказательство существования неэллипсоидальных форм дано Ляпуновым значительно позднее, в классической работе 1912 года.

Это блестящее открытие двух ученых открыло новую страницу в математической физике, сформировало круг любопытных идей и дало толчок развитию новых аналитических методов. Отсюда берут начало понятия о линейных сериях фигур равновесия, бифуркациях, нелинейных интегральных уравнениях. Был сделан шаг от идеальных поверхностей второго порядка к сложной реальности: действительно, у многих галактик и планет в их форме замечено присутствие третьих и более высоких гармоник.

В принципе, сама возможность существования новых равновесных форм следует из фундаментального факта: возмущение поверхности гравитирующего однородного эллипсоида гармониками третьего порядка, например, $\frac{\tau}{l}=a_{0} x_{1}^{3}+a_{1} x_{1} x_{2}^{2}+a_{2} x_{1} x_{3}^{2}+b x_{1}$, приводит к появлению возмущения потенциала, также описываемого полиномом третьего порядка от координат $\delta \varphi=A_{0} x_{1}^{3}+A_{1} x_{1} x_{2}^{2}+A_{2} x_{2} x_{3}^{2}+B x_{1}$. К слову, возможности математического аппарата до сих пор не позволяют провести полный нелинейный анализ данной проблемы и пока остается тайной, что же представляют собой неэллипсоидальные фигуры для большинства экзотических последовательностей вне малой окрестности от исходных эллипсоидов. Численные расчеты японских авторов в 1981-1983 гг. лишь отчасти прояснили ситуацию.

Пристальное внимание исследователей привлекла уже первая точка бифуркации на последовательности эллипсоидов Якоби, где берет начало последовательность грушевидных конфигураций. Согласно гипотезе Пуанкаре и Дарвина, если деформация исходного эллипсоида уже началась, то вдоль означенной последовательности грушевидность формы будет выявляться все более отчетливо и это приведет к делению вращающейся «груши» на две отдельные жидкие массы. На этом была построена стройная космогоническая картина происхождения двойных и кратных звезд и даже планетных систем. В дальнейшем эта красивая гипотеза не подтвердилась. Post factum, намек на иную судьбу грушевидной фигуры виден уже в том, что перешеек у «груши», едва угадываемый для первого члена ряда, отнюдь не становится более выраженным у фигуры и во втором приближении. Ляпунов в полемике с теми же Пуанкаре и Дарвином пришел к заключению о вековой неустойчивости всех грушевидных фигур данной последовательности, так что говорить о квазиравновесной эволюции вдоль нее вообще не имеет смысла. Правда считается, что при некоторых благоприятствующих обстоятельствах деление грушевидной фигуры могло бы произойти катастрофически быстро, за характерное время динамической эволюции. Однако и такая возможность деления не может быть реализована, т. к. численным расчетом на компьютере выяснено, что последовательность грушевидных фигур «заканчивается» членом, у которого на суженном конце появляется «носик» (особая точка, где центробежная и гравитационная силы уравновешены).

Всего проблеме теории фигур равновесия Пуанкаре посвятил тринадцать статей и мемуаров и шесть из них – в год открытия, 1885 г. Впечатляет характерный для стиля Пуанкаре интеллектуальный напор – три обширных мемуара один за другим.

Книга состоит из восьми глав. Наряду с оригинальными результатами, в ней подробно разбирается знаменитая проблема Клеро о равновесии медленно вращающейся неоднородной жидкой массы, и более кратко – восходящая к Лапласу задача о равновесии жидкого слоя на твердой сфере. Даются также многие необходимые сведения по теории потенциала, сферическим фуннциям и функциям Ламэ. Последняя глава посвящена интересной задаче равновесия и устойчивости колец Сатурна, весьма актуальной и в наше время.

Перевод и редактирование данной книги потребовали довольно большой работы, в ходе которой были исправлены многочисленные неточности и опечатки оригинала. В некоторых местах доказательства Пуанкаре нельзя признать строгими, есть в них и просто ошибочные рассуждения, иногда имеющие, увы, принципиальный характер. Небольшие подстраничные замечания мы включили прямо в текст, более обстоятельные подробные комментарии вынесены в конец книги.

Однако все это не умаляет ценности и актуальности представляемой книги. В ней чувствуется обаяние оригинального ума, есть идеи, которые и сейчас еще мало разработаны. Книга будет полезна для научных работников в области механики, теоретической астрономии и физики.